Задача с ограничениями типа неравенства

Подрывается основной принцип вариационного исчисления. Двухсторонняя вариация, следовательно уравнение Эйлера-Лагранжа в этом случае не верно. Что делать?

Вводиться специальная функция:

При z=0 имеем границу y(x)=φ(x) .

Уравнение Эйлера-Лагранжа надо записать для вновь введенной переменной:

(2) - для y не годится

Путем подстановок у(х) и у’(x) в вариацию функционала

(1) и записи уравнения Эйлера-Лагранжа удается получить следующее выражение:

(3)

(4)

1) z=0 (5) либо

2) (6)

Из (5) следует, что у(х)=φ(х)

Вывод: Учет ограничения типа неравенства путем введения специальной функции z (см. выше) позволяет из уравнения Эйлера-Лагранжа, записанного для переменной z (3) для экстремизации функционала (1), получить соотношение (4), которое разлагается на (5) и (6), которые можно охарактеризовать, как:

(5) – мы идем по границе,

(6) – мы идем по экстремали (если бы на у не было наложено ни каких ограничений).

Экстремизация функционала (1) при ограничении на экстремаль получаем следующее решение: - эксремум функционала (1) доставляет сложная составная кривая, состоящая из кусков экстемали (6) и кусков границ (5).

u

+1

t

-1

Пример: обойди болото !!!

1) если , то по касательной

2) если , то под углом

?

;

- прямая

Действительно, при учёте ограничений типа неравенства экстремум достигается на составной прямой, состоящей из участка экстремали и участка границ.

Если заранее известно, что управление имеет кусочно-постоянный характер, то может решить задачу на определение оптимального управления с помощью уравнения Эйлера.(Найти время действия +1 и −1 или найти число переключений)

+1

t0 t1

t

-1

Введение изопериметрического ограничения :

m → ∞

Только в этом случае интеграл

равен Т.

- уравнение объекта ;

Функция Лагранжа тогда :

Определить : u(t), y1(t), y2(t)

Из математики известно, что

следовательно

Из (2)

Из (3)

Отсюда получаем

Решение данной задачи показывает, что этот метод оказывается затруднительным при решении задач на оптимальное управление.

Имеется ряд задач, где в отличие от вышерассмотренных задач с закреплёнными концами, существуют задачи, где, либо правый конец не закреплён, либо левый, либо оба конца не закреплены.

Встречаются задачи, где концы будущей экстремали y(x) не закреплены (см. рис.).

Найти

Необходимо получить условия, аналогичные задаче с закреплёнными концами, на основании граничных условий получить уравнение экстремали.

Такие условия называются условиями трансверсальности. Они связывают не сами координаты, а угловые коэффициенты.

!!!

Часто эти условия сводятся к условиям ортогональности.