Частотные критерии устойчивости

Основаны на использовании записи уравнений в форме Лапласа, когда в характеристическом полиноме системы (полиноме знаменателя передаточной функции) оператор Лапласа s заменяется на j.

Первоначально рассмотрим принцип аргумента.

Принцип аргумента

Полином можно разложить на множители, тогда . Корни находятся из уравнения .

Среди n корней уравнения n-m - левых, m- правых. Граничные корни можно отнести к правым корням.

1) Пусть все корни уравнения - вещественные.

Значит, находятся на вещественной оси.

При изменении  от 0 до

аргумент (угол вектора ) изменится на - для левого корня, на - - для правого корня.

2) В случае пары комплексных корней при изменении  от 0 до суммарное изменение аргумента составит:

для правых корней и :

;

для левых корней и

.

В целом приращение аргумента (по правилу перемножения комплексных чисел) составит: .

Для устойчивости системы необходимо потребовать, чтобы корни были только левые (m = 0).

Тогда система будет устойчива, если при изменении  от 0 до приращение аргумента будет равно: .

Критерий устойчивости Михайлова

Характерной особенностью данного метода является то, что об устойчивости системы судят по поведению годографа Михайлова исследуемой системы:

• - для разомкнутой системы;

• - для замкнутой системы.

Под годографом понимается кривая, которую описывает конец вектора или на комплексной плоскости при изменении  от 0 до . Здесь и - полиномы знаменателей соответствующих передаточных функций.

На основании принципа аргумента формулируется критерий Михайлова:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора Михайлова для замкнутой и для разомкнутой системы) при изменении  от 0 до + повернулся в положительном направлении на угол (/2)n или, иначе, пересек по очереди n квадратов без пропусков.

Все эти годографы (и системы соответственно) устойчивы.

Эти системы неустойчивы, так как вектор годографа Михайлова вращается в отрицательном направлении.

Система неустойчива, так как квадранты проходятся непоследовательно.

Система находиться на границе устойчивости. При подсчете порядка системы каждое прохождение годографа через 0 повышает порядок на 1.

Следствие из критерия Михайлова:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной частей годографа Михайлова перемежались.

Если корни не перемежаются, то система неустойчива.

Если характеристическое уравнение не имеет какого либо члена, то система также неустойчива.

Частотный критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутой цепи (разомкнутой системы) . Ниже показано, как определяется передаточная функция разомкнутой системы для случая единичной и неединичной обратной связи.

Следовательно, об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией будем судить по передаточной функции разомкнутой системы , а именно по поведению годографа .

Рассмотрим вспомогательную передаточную функцию

, где обозначено .

Пусть порядок полинома равен n и порядок полинома , причем (в основном так и бывает). Тогда порядок полинома также будет равен n. Различают три возможных ситуации:

1. не содержит правых или нулевых корней, то есть разомкнутая система устойчива.

2. имеет хотя бы один правый корень, следовательно, система в разомкнутом состоянии неустойчива.

3. Все корни левые, но есть и корни на мнимой оси (нейтральная система).

Задача. Определить условия, при которых в замкнутом состоянии система будет устойчива в каждом из трех случаев.

Случай 1. Число правых корней равно 0. Все корни - левые. Разомкнутая система устойчива.

. Для устойчивости замкнутой системы (это наше требование) необходимо, что все корни полинома - левые, то есть .

Применим к принцип аргумента. При изменении от 0 до изменение величины фазового сдвига составляет (в соответствии с правилами деления комплексных чисел):

.

При устойчивой замкнутой системе приращение .

Получили кривую , не охватывающую начало координат:

Если учесть, что , следовательно , или . Таким образом в плоскости получаем:

Точка ( ) на плоскости преобразовалась в точку ( ) на плоскости .

Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывал критическую точку с координатой ( ).

На рисунке приведены годографы разомкнутых систем, устойчивых и в замкнутом состоянии.

Характеристики, обозначенные цифрами 1 и 2, соответствуют системам, устойчивым как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии. Для этих систем уменьшение коэффициента усиления отодвигает характеристику от опасной зоны. Характеристика 3 - условно устойчивая система. В условно устойчивой системе уменьшение коэффициента усиления может привести к неустойчивости замкнутой системы.

На следующем рисунке приведен годограф системы, неустойчивой в замкнутом состоянии.

При выходной сигнал отстает от сигнала на входе системы на 180⁰, то есть находится с ним в противофазе. Если =1 (как на рисунке), то при замыкании системы с ООС сигнал x₀, равный алгебраической сумме q и y, не будет ни усиливаться, ни ослабляться. Система будет находиться на границе устойчивости.

Если , то сигнал будет циклически усиливаться. Система становится неустойчивой, даже если снять входной сигнал.

Случай 2. Система в разомкнутом состоянии неустойчива.

Полином имеет m₁ правых корней, n-m₁ - левых. На основании принципа аргумента:

.

Следовательно, для устойчивости замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до , двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки), раз охватил критическую точку .

Случай 3. В разомкнутом состоянии имеются корни на мнимой оси (нулевые корни).

Передаточная функция разомкнутой системы причем , или . Пусть r =1. Если нулевой корень сдвинуть влево на малую величину , тогда передаточная функция примет вид , а частотная характеристика будет определяться выражением . Дальнейшие рассуждения при получении критерия устойчивости базируются на рассмотренном выше случае 1:

Начальный радиус точки при есть . Если устремить , то начальное значение АФЧХ также изменится: . Следовательно, предельное стягивание корня на свое исходное положение обеспечивает увеличение начального радиуса до , но интегрирующее звено обеспечивает сдвиг по фазе на угол -90⁰.

Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, имеющем в разомкнутом состоянии все левые точки, а также 1 или несколько нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы при изменении  от 0 до критическая точка не охватывалась годографом АФЧХ разомкнутой системы вместе с ее дополнением.

Дополнением является дуга с , повернутая от оси вещественных корней на угол .