2.7.1. Пропорциональное звено

Это звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной.

Его уравнение: y(t) = ku(t).

Передаточная функция: W(p) = k.

Переходная характеристика: h(t) = k1(t).

Любое реальное звено обладает инерционностью, но с определенной точностью. Некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безынерционные, например, жесткий механический рычаг, редуктор, потенциометр, электронный усилитель и т.п. (рис.2.17).

Рис.2.17

В ответ на единичное ступенчатое воздействие сигнал на выходе мгновенно достигает величины в k раз большей, чем на входе и сохраняет это значение (рис.2.17). При k = 1 звено никак себя не проявляет, а при k = - 1 - инвертирует входной сигнал.

Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики. Для этого необходимо подставить в нее jω вместо p, получим АФЧХ W(jω). Затем надо выразить из нее вещественную ЧХ P(ω) и мнимую ЧХ Q(ω). После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A(ω) и ФЧХ φ(ω), а затем определяют выражение ЛАЧХ L(ω) = 20lgA(ω) (ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).

АФЧХ: W(jω) = k.

ВЧХ: P(ω) = k.

МЧХ: Q(ω) = 0.

АЧХ: A(ω) = k.

ФЧХ: φ(ω) = 0.

ЛАЧХ: L(ω) = 20lgk.

Некоторые ЧХ показаны на рис.2.18.Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды вk раз и без сдвига по фазе.

2.7.2 Интегрирующее звено

Его уравнение , или, или py = ku.

Передаточная функция: W(p) = k/p.

Переходная характеристика: (рис.2.19).

Рис.2.19

При k = 1 звено представляет собой “чистый” интегратор с передаточной функцией W(p) = 1/p. Интегрирующее звено неограниченно «накапливает» входное воздействие. Примеры интегрирующих звеньев: двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, поршневой гидравлический двигатель, емкость и т.п. Введение его в САУ превращает систему в астатическую, то есть ликвидирует статическую ошибку.

АФЧХ:

ВЧХ: P(ω) = 0.

МЧХ: Q(ω) = – 1/ω.

АЧХ: A(ω) = 1/ω.

ФЧХ: φ(ω) = – π/2.

ЛАЧХ: L(ω) = 20lg(1/ω) = – 20lg(ω).

ЧХ показаны на рис.2.20. Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90^º. Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и уменьшается до нуля при росте частоты (звено «заваливает» высокие частоты). ЛАЧХ представляет собой прямую проходящую через точку L(ω) = 0 при ω= 1. При увеличении частоты на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен - 20 дб/дек (децибел на декаду).

2.7.3. Апериодическое или инерционное звено

Это одно из самых распространенных звеньев в САУ. Оно описывается уравнением или y + Tpy = ku.

Передаточная функция:

Переходная характеристика может быть получена с помощью формулы Хевисайда:

,

где p₁ = - 1/T - корень уравнения D(p) = Tp + 1 = 0; D^'(p₁) = T.

 

Рис.2.21

Переходная характеристика имеет вид экспоненты (рис.2.21), по которой можно определить передаточный коэффициент k, равный установившемуся значению h(t), и постоянную времени Т по времени t, соответствующему точке пересечения касательной к кривой в начале координат с ее асимптотой. При достаточно больших Т звено на начальном участке может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т звено приближенно можно рассматривать как безынерционное. Примерами апериодического звена могут служить термопара, электродвигатель, четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ:

АФЧХ:;

ВЧХ: ;

МЧХ: ;

АЧХ: ;

ФЧХ:

ЛФЧХ: .

ЧХ показаны на рис.2.22. АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке P = 1/2. При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при ω< ω₁ = 1/T можно пренебречь (ωT)² в выражении для L(ω), то есть L(ω)≈ – 20 lg1=0. При ω>ω₁ пренебрегают единицей под корнем, то есть L(ω) ≈ – 20 lg(ωT). Поэтому ЛАЧХ проходит вдоль оси абсцисс до сопрягающей частоты, затем с наклоном – 20 дб/дек. Частота ω₁ называется сопрягающей частотой. Максимальное отличие реальных ЛАЧХ от асимптотических не превышает 3 дб при ω= ω₁.

ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении ω до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к - π/2 при возрастании ω до бесконечности. Перегиб ЛФЧХ имеет место в точке ω= ω₁ при φ(ω) = - π/4.