3.2.3. Критерий Гурвица

Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица Δ по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_n;

2 ) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:

1) n = 1 => уравнение динамики: a₀p + a₁ = 0. Определитель Гурвица: Δ= Δ₁ = a₁ > 0 при a₀ > 0, то есть условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0;

2) n = 2 => уравнение динамики: a₀p² + a₁p + a₂ = 0. Определители Гурвица:

Δ₁ = a₁ > 0, Δ₂ = a₁a₂ - a₀a₃ = a₁a₂ > 0, так как a₃ = 0, то есть условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0;

3) n = 3 => уравнение динамики: a₀p³ + a₁p² + a₂p+ a₃ = 0. Определители Гурвица: Δ₁ = a1 > 0, Δ₂ = a₁a₂ - a₀a₃ > 0, Δ₃ = a₃Δ₂ > 0, условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0, a₁a₂ - a₀a₃ > 0;

Таким образом, при n≤2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.

Критерий Гурвица применяют при n ≤4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.

Н едостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя Δ_n = a_nΔ_n-1 = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a_n = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор Δ_n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра K_i влияет на значение определителя Δ_n-1. Исследуя это влияние можно найти значение K_i, при котором определитель Δ_n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным (рис.3.6). Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

3.3. Частотные критерии устойчивости

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

3.3.1. Принцип аргумента

Запишем характеристический полином САУ в виде (3.1):

D(p) = a₀ (p - p₁) (p - p₂) ... (p - p_n) = 0.

Его корни

p_i = α_i + jα_i = |p_i|ejarg(p_i),

где arg(p_i) = arctg(ω_i/a_i) + kπ,

.

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.37,а), тогда разность p - p_i изобразится разностью векторов (рис.3,7,б), где p - любое число.

Рис.3.7

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p – pi будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p_i - это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотойω, то p = jω, а характеристический полином принимает вид:

D(jω) = a₀ (jω - p₁) (jω - p₂) ... (jω - p_n).

При этом концы векторов jω - p_i будут находиться на мнимой оси (рис.3.7, в). Если менять ω от – ∞ до +∞, то каждый вектор jω - p_i будет поворачиваться относительно своего начала p_i на угол +π для левых и - π для правых корней (рис.3.7,г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(jω) = |D(jω)|ejarg(D(jω)),

где |D(jω)| = a₀ |jω - p₁| |jω - p₂|...|jω - p_n|,

arg(D(jω)) = arg(jω - p₁) + arg(jω - p₂) + .. + arg(jω - p_n).

 

Пусть из n корней m – правые, а n- m – левые, тогда угол поворота вектора D(jω) при изменении ω от -∞ до +∞ равен

,

(3.5)

или при изменении ω от 0 до +∞ получаем

. (3.6)

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора D(jω) при изменении частоты ω от - ∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней характеристического уравнения, умноженному на π, а при изменении частоты ω от 0 до +∞ эта разность умножается на π/2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основу всех частотных критериев устойчивости.