4. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Приведение квадратичной формы к главным осям уже было рассмотрено в предыдущем разделе. Будем считать, что в введено скалярное произведение . Определённую на квадратичную форму можно считать заданной в ортонормированном базисе , . Найдем корни характеристического многочлена ; поскольку действительная матрица квадратичной формы , все корней действительны. Если является собственным значением кратности 1, то найдём отвечающий ему собственный вектор и нормируем его. Если кратность собственного значения больше, чем 1, то найдём систему всех линейно независимых собственных векторов, отвечающих ; построим по этой системе ортонормированную систему отвечающих собственных векторов. Поступая так для всех , мы найдем матрицу требуемого ортогонального преобразования.

Метод Лагранжа состоит в последовательном выделении полных квадратов. В этом методе строится линейное невырожденное преобразование (от к ), которое не обязательно окажется ортогональным.

Прежде всего заметим, что при приведении квадратичной формы к каноническому виду можно добиться наличия в ней коэффициента . Действительно, если ≢0 и не содержит ни одного , то в имеется хотя бы одно произведение , причём и . Выполним замену переменных , а остальные переменные оставим без изменения. Тогда войдёт в квадратичную форму (и не сократится с другими членами: , ).

Будем считать, что . Выделим все члены, содержащие : . Дополним эти члены до полного квадрата, т.е. запишем их в виде , где содержит только квадраты и попарные произведения членов и не содержит и . Положим , а все остальные переменные оставим без изменения: , . Тогда , где . С квадратичной формой поступим точно так же. И так далее.

Метод Якоби состоит в построении невырожденного линейного преобразования (от к ), с треугольной матрицей. Пусть – билинейная форма, полярная к квадратичной форме : . Пусть матрица этой билинейной формы в базисе такова, что все стоящие в её левом верхнем углу миноры

, , . Мы приведем квадратичную форму к каноническому виду, если построим базис , все элементы которого удовлетворяют условиям при . Процесс построения такого базиса по исходному базису совпадает по смыслу с процессом ортогонализации линейно независимой системы элементов (см. теорему 7 темы 4); в нём надо только заменить все скалярные произведения элементов и на значения билинейной формы . Элементы строим последовательно по правилу ()

подчинив выбор коэффициентов требованиям при всех , а – для всех В базисе квадратичная форма будет иметь канонический вид .

173