3. Квадратичные формы.

Пусть – симметричная билинейная форма, определенная на линейном пространстве . называют квадратичной формой, определенной на .

Замечание. Мы потребовали . Это объясняется следующими соображениями. Если взять произвольную билинейную форму , то выражение будет симметричной билинейной формой. Положим в нем , тогда получим , т.е. то же самое, как если бы в исходной форме мы положили .

Пример. , – заданная действительная матрица, , , . Квадратичная форма

. Для изучения квадратичной формы матрицу можно считать симметричной – этого всегда можно добиться следующей группировкой слагаемых: . Если в введено скалярное произведение , то рассматриваемая квадратичная форма имеет вид , где .

Исходную симметричную билинейную форму называют полярной для квадратичной формы . Матрицей квадратичной формы, определенной на конечномерном линейном пространстве, называют матрицу ее полярной билинейной формы.

Теорема 7. Полярная билинейная форма однозначно определяется своей квадратичной формой.

Доказательство. Пусть – квадратичная форма, где симметричная билинейная форма нам неизвестна; найдем её. По свойствам билинейной формы и в силу ее симметричности имеем . Отсюда

.

Доказанная теорема служит еще одним обоснованием того, что при изучении квадратичных форм достаточно рассматривать только симметричные билинейные формы.

Пример. . Положим для любой непрерывной на функции . Билинейная форма, полярная к квадратичной форме , имеет вид .

Всюду далее мы будем рассматривать только действительные конечномерные линейные пространства , . Пусть и – два базиса в , , и – координаты элемента в этих базисах: , . Тогда (см. тему 2). Определенная на квадратичная форма в базисе задается при помощи действительной симметричной -матрицы : . можно рассматривать как функцию независимых действительных переменных – однородный многочлен степени 2 от этих переменных. В базисе та же квадратичная форма является функцией независимых действительных переменных и задается при помощи действительной симметричной матрицы : (см. теорему 4). Основная задача, связанная с изучением заданной в базисе квадратичной формы , состоит в нахождении такого базиса (или, что то же самое, – таких переменных ), что имеет в переменных наиболее простой вид.

Рассмотрим сначала случай, когда – евклидово пространство и – ортонормированный базис. По теореме 21 темы 8 всякая действительная симметричная матрица ортогонально подобна действительной диагональной матрице : , где , – собственные значения матрицы , а – ортогональная матрица, т.е. . Поэтому, если в качестве новых независимых переменных выбрать , то получим .

Определение. Вид квадратичной формы с диагональной матрицей называют ее каноническим видом. 

Мы только что обнаружили важный факт:

Теорема 8. Всякая квадратичная форма, определенная на действительном евклидовом пространстве, может быть приведена к каноническому виду при помощи линейной замены независимых переменных с ортогональной матрицей преобразования этих переменных. 

Очевидно, что базис евклидова пространства , в котором квадратичная форма имеет указанный в теореме 8 канонический вид, является ортонормированным базисом, состоящим из собственных векторов матрицы квадратичной формы. Операция построения ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется приведением ее к главным осям. Вообще, привести квадратичную форму к каноническому виду – значит найти переменные и выражение , содержащее только квадраты этих переменных. Если приведение к каноническому виду производится при помощи ортогонального преобразования, то для записи этого канонического вида достаточно найти собственные значения матрицы . Но чтобы найти переменные, в которых построен этот канонический вид, надо знать и собственные векторы матрицы . Действительно, условие означает, что , или поэлементно: . Следовательно, -ый столбец матрицы состоит из координат собственного вектора матрицы , отвечающего собственному значению , . Напомним, что столбцы ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему в смысле скалярного произведения в . Полученный в теореме 8 результат является выражением следующего факта:

Утверждение. Для любой квадратичной формы , определенной на евклидовом пространстве , существует единственный самосопряженный оператор такой, что для любого .

(Докажите самостоятельно.)

Ортогональное преобразование переменных определено только в евклидовом пространстве, и оно дает лишь один из канонических видов квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным. Если в некотором базисе линейного (не обязательно евклидова) пространства квадратичная форма имеет канонический вид, то переставляя элементы этого базиса (т.е. производя перенумерацию независимых переменных), снова получим в каноническом виде. Если , то полагая , где все коэффициенты , получим другой канонический вид .

Пример. Пусть – некоторый канонический вид квадратичной формы. Предположим для простоты, что . Выберем новые переменные

Тогда – другой канонический вид той же квадратичной формы. Он получен из предыдущего действительным линейным невырожденным преобразованием независимых переменных.

Определение. Канонический вид квадратичной формы с коэффициентами называют ее нормальным видом.

Что общего у разных канонических видов, к которым приводится одна и та же квадратичная форма? По следствию из теоремы 4 для любых двух ее канонических видов задающие их диагональные матрицы имеют одинаковые ранги. Поэтому число ненулевых членов во всех канонических видах одинаково; оно равно рангу матрицы квадратичной формы и называется рангом квадратичной формы. Но этим не исчерпывается общность канонических видов одной и той же .

Теорема 9. (Закон инерции квадратичных форм.) При любом преобразовании квадратичной формы, определенной на действительном линейном пространстве, к её каноническому виду число положительных членов и число отрицательных членов в каноническом виде будут одними и теми же.

Доказательство. Пусть , – три базиса линейного пространства , , , где и – матрицы перехода между базисами. Пусть в базисе (в переменных ) квадратичная форма имеет вид . Пусть в базисе (в переменных ) она имеет канонический вид , где все коэффициенты . Пусть в базисе (в переменных ) она имеет другой канонический вид , где все коэффициенты .

Для любого элемента имеем равенство

. (1)

Предположим, что . Тогда рассмотрим те элементы , для которых

(2)

Поскольку , число условий в (2) меньше, чем . При помощи линейных преобразований и выразим переменные и переменные через переменные . Тогда (2) является однородной системой линейных алгебраических уравнений относительно координат элементов в базисе . В этой системе число уравнений меньше, чем число неизвестных. Поэтому по теореме 4 темы 3 система уравнений имеет ненулевое решение . То есть, в пространстве существует элемент , для которого выполнены условия (2).

С другой стороны, если некоторый элемент удовлетворяет условиям (2), то в равенстве (1) левая часть равна нулю. Тогда из (1) получаем . Итак, если элемент удовлетворяет (2), то в базисе все его координаты , т.е. . – Противоречие! Следовательно, неравенство невозможно.

Точно так же доказывается, что невозможно неравенство . Точно так же доказывается, что невозможны неравенства и .

Число положительных членов в каноническом виде квадратичной формы называют ее положительным индексом инерции. Число отрицательных членов в каноническом виде квадратичной формы называют ее отрицательным индексом инерции. Пару чисел называют сигнатурой квадратичной формы. (Иногда сигнатурой называют число .) Ясно, что сумма равна рангу квадратичной формы. Если , то квадратичную форму называют невырожденной; если , то – вырожденной.

Квадратичную форму называют неотрицательной, если для всех . Квадратичную форму называют строго положительной (или положительно определенной), если для любого из условия следует .

Теорема 10. Квадратичная форма является положительно определенной в том и только в том случае, если ее положительный индекс инерции .

Доказательство. Пусть , и в некотором базисе квадратичная форма приведена к нормальному виду: .

Если является положительно определенной, то в ее нормальном виде нет отрицательных или равных нулю членов. В противном случае для некоторого элемента , координаты которого в базисе равны, например, , выполнено неравенство ; а для некоторого , координаты которого в базисе равны, например, , выполнено равенство , хотя . Поэтому .

Если же в нормальном виде квадратичной формы , т.е. , то для любого , причем только при .

Важность класса положительно определенных квадратичных форм объясняется следующим обстоятельством. Пусть – положительно определенная квадратичная форма, а – ее полярная билинейная форма. Тогда обладает свойствами:

1. для любых .

2. для любых .

3. для любых , .

4. , причем только для .

Тем самым удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения в действительном линейном пространстве. Справедливо

Утверждение. Скалярное произведение в действительном линейном пространстве является билинейной формой, полярной к положительно определенной квадратичной форме. Любая такая билинейная форма может быть принята за скалярное произведение.

Квадратичную форму естественно назвать неположительной, если для всех , и строго отрицательной (или отрицательно определенной), если из условия следует . Очевидно, что является отрицательно определенной в том и только в том случае, если ее отрицательный индекс инерции .

Квадратичную форму называют знакопеременной, если для некоторого , а для некоторого .

Задача. В терминах индексов инерции найдите необходимые и достаточные условия того, что неотрицательна; неположительна; знакопеременна. 