5. Ортогональные операторы.

Пусть теперь является действительным евклидовым пространством. Аналогом унитарного оператора в этом случае служит ортогональный оператор.

Определение. Линейный оператор , действующий в евклидовом пространстве, называют ортогональным, если .

Легко проверить, что теорема 14 и оба следствия из нее остаются в силе, если в них унитарный оператор в унитарном пространстве заменить на ортогональный оператор в евклидовом пространстве. Нужно только в доказательстве следствия 1 вместо тождества (11) использовать тождество

,

справедливое в евклидовом пространстве. Точно так же сохраняется и теорема 16.

Различия между унитарным и ортогональным операторами не только терминологические, они проявляются в канонической форме их матриц (вспомните теоремы 8* и 9 темы 7).

Запишем условия ортогональности оператора в матричной форме. Для этого выберем произвольный ортонормированный базис . Пусть в этом базисе оператор имеет матрицу

, все .

В том же базисе оператор имеет матрицу, транспонированную к : . Требование ортогональности означает, что – единичная -матрица. Перемножим эти матрицы:

(14)

Условие ортогональности можно записать и в виде . Тогда имеем

(15)

Действительную -матрицу, элементы которой удовлетворяют (14) или (15), называют ортогональной.

Для ортогональной матрицы из условия вытекает , т.е. или .

Дадим геометрическое описание действия ортогонального оператора и построим каноническую форму его матрицы. Сначала рассмотрим действие ортогонального оператора в одномерном и в двумерном евклидовых пространствах.

Пример. Одномерное действительное пространство изоморфно . Матрица ортогонального оператора в этом случае может иметь вид , либо . Геометрическое действие такого оператора не требует пояснений.

Пример. Двумерное действительное пространство изоморфно . Матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе в имеет вид , причем . Вспомним явное выражение обратной матрицы: , где – матрица, присоединенная к .

Пусть . Тогда . Отсюда , причем . Это позволяет положить , , т.е. . Найдем характеристический многочлен рассматриваемого оператора: . Если , то имеем собственные значения . Тогда ортонормированный базис состоит из собственных векторов, и : тождественный оператор оставляет на своем месте любой вектор. Если , то имеем собственные значения . Тогда ортонормированный базис состоит из собственных векторов, и : оператор отражает любой вектор относительно обеих осей координат. Если , то собственных значений нет; имеется двумерное инвариантное подпространство оператора – все пространство . Оператор поворачивает любой вектор на угол против часовой стрелки вокруг начала координат.

Пусть теперь . Тогда . Отсюда , причем . В этом случае характеристический многочлен

. Если собственные значения , , то базисные векторы являются собственными, и : оператор отражает любой вектор относительно оси . Если , , то базисные векторы являются собственными, и : оператор отражает любой вектор относительно оси .

Теорема 19. (Каноническая форма матрицы ортогонального оператора.) Для любого ортогонального оператора , действующего в евклидовом пространстве , существует ортонормированный базис , в котором его матрица имеет квазидиагональную форму. На главной диагонали этой матрицы стоят клетки вида (им отвечают одномерные собственные подпространства), или (им отвечают двумерные инвариантные подпространства), или , (им отвечают пары одномерных собственных подпространств).

Доказательство проведем индукцией по размерности пространства . При теорема была доказана в предыдущих примерах. Пусть и теорема верна для ортогональных операторов во всех пространствах размерности не более . Докажем теорему для пространств размерности . По теореме 9 темы 7 у всякого линейного оператора в действительном пространстве имеется одномерное или двумерное инвариантное подпространство . По теореме 16, справедливой для ортогональных операторов, индуцированный оператор является ортогональным. Если , то для ортогонального оператора существует базис , в котором его матрица имеет вид или . Если , то для ортогонального оператора существует ортонормированный базис , в котором его матрица имеет вид , или , или .

По теореме 16 инвариантно относительно оператора . Поскольку , по предположению индукции в существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет требуемый вид. Тогда в базисе всего пространства матрица оператора будет иметь требуемый вид.

Ортогональная матрица является матрицей ортогонального оператора в ортонормированном базисе. А переход от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису в евклидовом пространстве задается ортогональным оператором. Поэтому основным результатом для ортогональных матриц является

Теорема 20. Пусть – ортогональная матрица. Тогда существует такая ортогональная матрица , что , где – квазидиагональная ортогональная матрица, описанная в теореме 19.

Теорема 20 утверждает, что ортогональная матрица ортогонально подобна квазидиагональной матрице . Если у ортогонального оператора имеются собственные значения, то они равны +1 или и стоят на диагонали матрицы .

Напомним, что если самосопряженный оператор действует в действительном пространстве, то в ортонормированном базисе его матрица симметрична: . Рассуждениями, аналогичными доказывающим теорему 20, получаем основной результат для симметричных действительных матриц:

Теорема 21. Пусть – симметричная действительная матрица. Тогда существует такая ортогональная матрица , что , где – действительная диагональная матрица.

(Докажите самостоятельно.)

Теорема 21 утверждает, что действительная симметричная матрица ортогонально подобна матрице .