49.Коды Рида-Малера

Код является линейным блочным кодом и задается двумя целыми числами. Параметр определяет длину кодовых комбинаций

.

(3.30)

И параметр р – это порядок кода (). Тогда количество информационных символов

(3.31)

а кодовое расстояние равно

(3.32)

Код Рида-Малера в общем случае не является систематическим. Если р принимает максимальное значение р=m-1, то , и он эквивалентен коду с поверкой на чётность. В другом крайнем случае р=1 имеем

k=1+m,

(3.33)

Производящая матрица G кода первого порядка строится следующим образом. Сначала записывают строку, состоящую из n единиц. Чтобы получить остальные m строк, в качестве столбцов записывают всевозможные m-разрядные двоичные числа, включая нулевое (полученные таким образом m строк называются базисными векторами первого порядка).

Чтобы получить матрицу G кода второго порядка, дописывают ещё строк, называемых базисными векторами второго порядка. Каждый из этих векторов получаем путём попарного поэлементного перемножения базисных векторов первого порядка (всего имеем различных пар).

Для кода третьего порядка дописываем базисных векторов третьего порядка путём такого же перемножения различных троек векторов g_j и т.д., пока не сформируем матрицу G нужного порядка.

Пример. Построить матрицу G для кода Рида-Малера первого порядка с параметрами m=3, р=1. Получаем

.

(3.34)

Код Рида-Малера первого порядка обладает одним примечательным свойством. Если два возможных значения каждого символа обозначить как +1 и -1, то это лучше соответствует случаю, когда их передача производится импульсами различных полярностей. Затем возьмём из кодовой таблицы два вектора-строки a и b и вычислим их скалярное произведение (суммирование обычное). В итоге получим один из двух результатов

.

(3.35)

Это значит, что для каждой кодовой комбинации в таблице есть одна комбинация, противоположная первой (), а остальные комбинации ортогональны ей, то есть удалены от неё на одно и то же расстояние, равное n/2 (по Xэммингу) или (по Евклиду). Система сигналов, обладающих таким свойством, называется биортогональной.

При большом значении m и малом р коды Рида-Малера имеют очень большую корректирующую способность () и, соответственно, очень большую избыточность. Например, при m=8, р=1 кодовая комбинация, состоящая их 256 символов, содержит всего 9 информационных и 247 проверочных символов. Для этого кода , значит, он способен обнаруживать любые ошибки до 127-кратных и исправлять до 63-кратных. Такая способность является явно излишней в обычных условиях, поэтому коды малого порядка имеет смысл использовать лишь в экстремальных ситуациях, при очень малом отношении сигнал/помеха.

Кодирование кодом Рида-Малера удобно проводить по формуле (3.21), при этом строки матрицы G не обязательно хранить в памяти кодера. Их можно генерировать в процессе кодирования очередной кодовой комбинации при помощи m-разрядного двоичного счётчика, если на его выход подать последовательность тактовых импульсов.

Декодирование кода Рида-Малера – это зачастую довольно трудоёмкая операция. Если , то вполне возможно, что более экономным окажется способ декодирования по минимуму расстояния.

50