Тема 3. Этапы и цели компьютерного математического моделирования.

Рассмотрим процесс компьютерного математического моделирования, включающий численный эксперимент с моделью.

Первый этап - определение целей моделирования, основные из них таковы:

1. модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2. модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3. модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Второй этап – поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений.

Когда математическая модель сформирована, выбираем метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. от верного выбора метода часто зависит успех всего процесса.

Разработка алгоритма и составление программы для ЭВМ – это творческий и трудно формируемый процесс. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании наиболее распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного) программирования.

После составления программы решаем с ее помощью простейшую тестовую задачу (желательно с заранее известным ответом) с целью устранения грубых ошибок. Это лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом по существу, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

Затем следует соответственно численный эксперимент, и выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.

Последовательность этапов моделирования:

1. Цель;

2. Объект;

3. Модель;

4. Метод;

5. Алгоритм;

6. Программа;

7. Эксперимент;

8. Анализ;

9. Уточнение.

Раздел 1. Задачи линейного программирования.

Тема 1. Математическое программирование. Общий вид задач линейного программирования.

1. Общая задача линейного программирования.

2. Формулировка задачи.

3. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

1. Общая задача линейного программирования.

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

Пусть необходимо исследовать на экстремум линейную функцию Z = С₁х₁+С₂х₂+...+С_Nx_N

при линейных ограничениях

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_1NХ_N = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2NХ_N = b₂

a_М1x₁ + a_М2x₂ + ... + a_МNХ_N = b_М

Так как Z - линейная функция, то = С_j (j = 1, 2, ..., n), коэффициенты линейной функции которые не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы невозможно, поскольку частные производные являются константами.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.