3. Принятие решений при проведении эксперимента.

Допустим, что вероятности р(Q₁), р(Q₂), … , р(Q_n) в принципе существуют, но вам неизвестны. Иногда в этом случае предполагают все состояния природы равновероятными (так называемый «принцип недостаточного основания» Лапласа), но вообще-то это делать не рекомендуется. Все-таки обычно более или менее ясно, какие состояния более, а какие - менее вероятны. Для того чтобы найти ориентировочные значения вероятностей р(Q₁), р(Q₂),  … , р(Q_n), можно, например, воспользоваться методом экспертных оценок. Хоть какие-то ориентировочные значения вероятностей состояния природы все же лучше, чем полная неизвестность. Неточные значения вероятностей состояний природы в дальнейшем могут быть «скорректированы» с помощью специально поставленного эксперимента. Эксперимент может быть как «идеальным», полностью выясняющим состояние природы, так и неидеальным, где, вероятности состояний уточняются по косвенным данным

3.1. Принятие решений в условиях неопределенности.

Человек, прежде чем принять решение, пытается получить некоторую информацию о состоянии природы экспериментальным путем. Предполагается, что проведение эксперимента не требует никаких затрат,

Пусть проведен эксперимент, имеющий t исходов – возможных прогнозов состояния природы,

Z=(z₁, z₂,…, z_t), .

Известна условная вероятность Р(z_β/Q_j) -го результата эксперимента при состоянии природы Q_j,

P_j= Р(z_β/Q_j), =1,2,…,t, j=1,2,…,n. (7)

Множество значений P_j можно представить в виде матрицы размера t·n, данной в табл. 5.

Для использования информации, полученной в результате эксперимента, введем понятие стратегии.

Таблица 5

Qj Z	Q1	Q2	…	Qn
z1	P11	P12	…	P1n
z2	P21	P22	…	P2n
…	…	…	…	…
zt	Pt1	Pt2	…	Ptn

Стратегия - это соответствие последовательности t результатов эксперимента последовательности t операций,

(z₁, z₂,…, z_t)→ (a_i, a_j,…, a_k). (8)

Выражение (8) подразумевает, что

z₁→ a_i, ,

z₂→ a_j, ,

……………………

z_t→ a_k, .

Число возможных стратегий  определяется формулой

 = m^t,

m – число операций, t - число результатов эксперимента. При m=2, t=3 всевозможные стратегии представлены в табл.6.

Таблица 6

Si z	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	S8
z1	a1	a1	a1	a1	а2	а2	а2	а2
z2	a1	a1	а2	а2	a1	a1	а2	а2
z3	a1	а2	a1	а2	a1	а2	a1	а2

Задача ПР формулируется так: какую одну из операций a₁,a₂,…, a_m следует выбрать в зависимости от одного из результатов эксперимента z₁, z₂,…, z_t.

Для принятия решения находим усредненные полезности стратегий S_i, i= 1,2, …, , при состояниях природы Q_j, j=1, 2, …, n,

U(S_i,Q_j)=α_{i β j} P_{β j} , i= 1,2, …, , j=1, 2, …, n, (9)

где α_iβj - полезность β-ой компоненты i-ой стратегии при состоянии природы Q_j, P_βj – условная вероятность β-го результата эксперимента при состоянии природы Q_j. Стратегия S_i определена множеством операций, значения α_{i β j} берутся из таблицы полезностей значения P_βj – из табл. 5. Полученные значения усредненных полезностей U(S_i,Q_j) можно записать в виде матрицы размера n·. Для принятия решения – выбора наилучшей стратегии можно воспользоваться уже рассмотренными критериями: максимина, минимакса сожалений и равновозможных состояний.

Рассмотрим конкретный пример. Предполагается лишь два состояния природы: Q₁ - теплая погода, Q₂ – холодная погода, и только две операции: a₁ – одеться для теплой погоды, a₂ – одеться для холодной погоды. Эта ситуация характерна для туристов. Матрица полезности дана в табл.7.

Таблица 7 Таблица 8

Qj ai	Q1		Q2				Qj z		Q1		Q2
a1	10		0				z1		0.6		0.3
							z2		0.2		0.5
a2	4	7				z3		0.2		0.2

Критерий максимина гарантирует 4 ед. полезности и рекомендует выбирать операцию а₂. Критерий минимакса дает этот же ответ.

Но есть возможность воспользоваться данными прогноза погоды (в этом и состоит эксперимент), которые могут быть трех видов:

z₁ – ожидается теплая погода,

z₂ – ожидается холодная погода,

z₃ – прогноз неизвестен.

Из прошлого опыта известны условные вероятности этих трех видов прогноза для каждого состояния природы , =1,2,3, j =1,2, представленные в табл. 8.

Для каждой из 8–ми стратегий и каждого из 2–х состояний природы определим взвешенные суммы полезностей по формуле (9), используя данные таблиц 6 – 8,

U(S₁,Q₁) =100.6 + 100.2 +100.2 =10,

U(S₂,Q₁) =100.6 + 100.2 +40.2 = 8.8,

U(S₃,Q₁) =100.6 + 40.2 + 100.2 = 8.8,

........................................................

U(S₈,Q₁) = 40.6 + 40.2 + 40.2 = 4,

U(S₁,Q₂) = 00.3 + 00.5 +00.2 = 0,

.........................................................

U(S₈,Q₂) = 70.3 + 70.5 + 70.2 = 7.

Все вычисленные значения U(S_i,Q_j), i = 1,2,…8, j = 1, 2, помещены в табл.9.

Таблица 9

Si Qj	S1	_ S2	S3	S4	_ S5	_ S6	S7	S8
Q1	10	8.8	8.8	7.6	6.4	5.2	5.2	4
Q2	0	1.4	5	4.9	2.1	5	5.6	7

Из табл. 9 предварительно следует исключить плохие стратегии –– те стратегии, обе компоненты которых не больше () соответствующих компонент какой–либо другой стратегии. Ввиду того, что , , S₆ ≤ S₇, то стратегии исключаются из рассмотрения (в табл. 9 они помечены знаком "–").

К оставшимся, допустимым стратегиям можно применить известные нам критерии. Используя критерий максимина, имеем:

, ,

, , ,

.

Следовательно, наилучшей стратегией является стратегия S₇, гарантирующая 5.2 ед. полезности. Для сравнения максиминная операция гарантирует лишь 4 ед. полезности. Так как S₇ = (a₂, a₂, a₁), то в силу (8) имеем

.

Это значит, что при прогнозе z₁ выбирается операция а₂, при прогнозе z₂ – a₂, при прогнозе z₃ – a₁, т.е. максиминная стратегия S₇ рекомендует одеваться тепло, если прогноз – теплая или холодная погода, и одеваться легко, если прогноз неизвестен. Последнее утверждение весьма непрактично.

Максиминная стратегия S₇ при неблагоприятном стечении обстоятельств может привести и к худшему результату, чем максиминная операция . Например, имеет место холодная погода . Тогда согласно максиминной операции турист получит 7 ед. полезности (табл. 7). С другой стороны, если результат прогноза будет (прогноз неизвестен) и согласно стратегии S₇ будет выбрана операция (одеться легко), то он получит 0 ед. полезности. Это явление –– типичное для теории игр и теории принятия решений. S₇ гарантирует лишь среднюю полезность в 5.2 ед.