Особые случаи

То, что в точке функция непрерывна не означает, разумеется, что в этой точке у нее обязательно существует производная. Функция может быть непрерывной, а производной может и не существовать. Что же там может быть?

1. А. Односторонние производные

Назовем

производной от функции в точке слева, а

производной в той же точке справа. Разумеется, если , то это означает, что в точке существует . Но могут быть случаи, когда и существуют, но не равны друг другу. В этом случае не существует и . График функции имеет в точке в этом случае “излом”, и в этой точке к графику можно провести две касательные .

2. Б. Бесконечная производная

Рассмотрим функцию определенную для и потребуем найти . Имеем

и производная равна .

Рассматривая график функции легко увидеть, что это означает просто то, что в точке касательная к графику параллельна оси OY.

3. В. Несуществование производной

Наконец, может быть ситуация, когда , фигурирующий в определении производной, не существует.

Рассмотрим для примера, . Так как , то . Поэтому полагая получим

и этот предел просто не существует.

Из графика функции видно, что с приближением к точке касательная колеблется, не стремясь ни к какому определенному положению.

В математике построены даже примеры функций, которые являются непрерывными, но ни в одной точке не имеют производной.

Теоремы Ферма и Ролля

Теорема Ферма. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения, если в этой точке существует производная, то она равна нулю: .

Доказательство

Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего.

По условию теоремы эта точка внутренняя, т.е. , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.

Пусть мы подходим к слева. Тогда

(т.к. - наибольшее значение)

(т.к. мы подходим слева)

Делая предельный переход получим

Пусть мы подходим к точке справа. Тогда

(т.к. - наибольшее значение)

(т.к. мы подходим слева)

Делая предельный переход получим

Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . ч.т.д.

Геометрический смысл доказанной теоремы ясен из рисунка: в точке наибольшего или наименьшего значения функции касательная к графику функции параллельна оси OX.

1. Существование ограничений

В теореме Ферма по сути дела два ограничения: а) точка расположена внутри отрезка и б) . Покажем, что оба ограничения являются существенными, т.е. отказ от любого из них приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.

а) “внутренность” точки x₀

Если максимум или минимум функции достигается на границе отрезка, то утверждение теоремы Ферма неверно. При доказательстве это проявляется в том, что мы сможем подойти к точке только с одной стороны и поэтому не получится второго, противоположного неравенства.

б) существование производной.

Пусть в точке существуют только односторонние производные. Тогда, как это видно из рисунка, теорема Ферма неверна. При доказательстве это проявиться в том, что получаться неравенства и , которые нельзя будет объединить в одно равенство, т.к. теперь

Теорема Ролля. Пусть функция

а) определена и непрерывна на [a,b]

б) ;

в)

Тогда существует точка в которой .

Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:

1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , т.е. существуют конечные и .

2. Если , то есть константа, т.е. и поэтому . В качестве точки c можно взять любую точку из .

3. Если , то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений или достигается во внутренней точке промежутка ,по теореме Ферма, в этой точке (их может быть и две) производная равна нулю.

ч.т.д.