Модели объектов с различными параметрами

Вернемся к уравнению:

(t)=F_s(, , , )

• Если не зависит от t, то мы имеем статическую модель, иначе – динамическую.

• Если какой-то из параметров имеет стохастический характер (x, v, h)? То мы имеем стохастическую(вероятностную) систему, в противном случае – детерминированную.

• Если параметры модели изменяются непрерывна, то модель непрерывна, в противном случае – дискретную.

• Возможны любые их комбинации, тогда соотв. признаки включают в название модели.

Для каждого вида моделей используют свой математический аппарат. Детерминированные непрерывные модели – дифференциальные, интегро-дифференциальные и другие уравнения.

Детерминированно-дискретная модель – конечные автоматы, конечноразностные системы.

Дискретно-стохастическая модель – вероятностные автоматы, случайные функции.

Непрерывно-стохастические системы – СМО.

Используются также агрегативные модели, которые позволяют списать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера объектов.

Агрегативные модели относятся к универсальным обобщенным моделям. При их использовании объект расчленяется на конечное число частей(подсистем), сохраняя при этом связи для взаимодействия частей. Построение математической модеи(м/м) сложной системы в целом из-за сложности описания процесс её функционирования. Поэтому используют приёмы декомпозиции системы на части. Процедура членения продолжается до некоторых далее необходимых элементо. Такой подход используется в системном анализе. Таким образом сложная система является многоуровневой конструкцией, состоящей из взаимодействующих элементов, объединяемых в подсистемы различных уровней. Объектами исследования такой моделированнаой системы является только элементы и связи между ними. М/м сложной системы состоит из м/м элементов системы и м/м взаимодействия между элементами.. При этом исходят из следующих положений:

1. Система функционирует во времени. В каждый момент времнеи она будет находиться в одном из её возможных состояний.

2. На вход системы могут поступать входящие сигналы.

3. Система способна выдать выходящие сигналы.

4. Состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входящими сигналами поступившими в данный момент времени и ранее.

5. Выходной сигнал в данный момент времени определяется состояниями системы и входными сигналами, относящимися и данному и предшествующим моментам времени.

Математические схемы моделирования систем:

Непрерывно детерминированная модель (D-схема)

-независимой переменной является время t.

Общий вид описания имеет вид:

-векторная функция

– определена на некотором (n+1)-мерном множестве () и являеться непрерывной функцией.

Математические схемы такого вида отражают динамикуизучаемой системы и поэтому называться D-схемами.

Приложением таких схем являеться теория автомат. управлении(частный случай динамических систем).

Структура многомерной САУ представляется в виде двух подсистем:

-управляющей

-управляемой

V₁ V₂ V_k

x₁ … z₁

Управляющая система

Объект управления

y₁

x₂ z₂ y₂

. ….. ….

. y_m

. z₂

x_n

– вектор возмущающих воздействий.

– вектор входящих воздействий.

– вектор сигналов ошибки.

(t) – вектор управляющих воздействий.

– вектор выходящих сигналов (состояний системы)

– вектор выходящих переменных(вне системы)

Обычно .

Оценкой того, насколько объект управления достигает поставленной цели, может служить для одномерного случая ошибка:

Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входящего воздействия (), то величина ошибки равна 0, а система называется идеальной.

Отсюда следует, что ошибка является необходимым компонентом автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, т.к. мы стремимся уменьшить величину ошибки.

Для одноканальной САУ применяют в общем случае D-схему вида:

, – производные по времени

Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

Рассмотрим на примере теории автоматов. Система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего своё внутреннее состояние лишь в допустимые моменты времени.

Автомат – некоторое устройство(«Черный ящик»), на которые подаются входящие сигналы и снимаются выходные сигналы, оно может иметь некоторое внутреннее состояние.

Конечным автоматом называется автомат с конечным числом внутренних состояний, а также входных и выходных сигналов.

Абстрактный конечный автомат характеризуется 6-ю параметрами:

1. Конечное множество входных сигналов – X(входной алфавит)

2. Конечное множество выходных сигналов – Y(выходной алфавит)

3. Конечное множество внутренних состояний – Z(алфавит состояний)

4. Начальное состояние – z₀ Є Z

5. Функция переходов – γ(Z,x)

6. Функция выходов – (z,x)

Автомат, задаваемый F-схемой в виде F=<Z,X,Y,γ,ψ,z₀>, функционирует в дискретно-автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. интервалы времени, примыкающие друг к другу.

Пусть z(0)=z₀; t=0,1…; z(t)ЄZ

x(t)ЄX

y(t)ЄY

Работа конечного автомата происходит по схеме:

В каждом t-м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t)? подается сигнал x(t), на который он реагирует переходом в следующем такте t+1 в новое состояние z(t+1) и выдает некоторый выходной сигнал.

1. Автомат I рода: (автомат Мили)

2. Автомат II рода: (автомат Мили)

3. Если y(t) зависит только от состояния автомата, т.е. y(t)=ψ(z(t)), t=0,1…

z(t+1)=γ(z(t),x(t)), то он носит название автомата Мура.

Тот же автомат можно задать таблицей переходов и выходов:

φ:

z x	0	1	2	3	4	5
1	0	1	2	3	4	5
2	0	0	2	0	4	0
5	0	0	0	0	0	5

Ψ:

z x	0	1	2	3	4	5
1	0	0	0	0	0	1
2	0	0	0	0	1	1
5	0	1	1	1	1	1

Изображение в виде графа:

1(0)

1(0)

1(0)

1(0)

5(1)

1(0)

5(1)

2(0)

5(1)

2(1)

1(1)

5(1)

2(1)

Дискретные-стохастические системы (Р-системы)

В общем случае вероятность автомата можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте только от состояния памяти в нём и может быть описано статически.

Введем математическое понятие Р-автомата, используя понятия введенные для F-автомата. G-множество, элементами которого является пары (хi;zs) Є G, где хi - входы, zs – элементы множества состояний. Если функции φ и Ψ такие что φ:G→z; Ψ:G→y, то говорят, что F=<z, x, y, φ , Ψ> определяет автомат детерминированного типа.

Введем более общую математическую схему.

Пусть элемент (хi;zs) Є G индуцирует на множестве Φ[пар вида (zk;yi) ЄФ] некоторый закон распределения вероятности вида:

- вероятность порождения (;)

, где - вероятность перехода автомата в состояние и появление выходного сигнала , если он был в состоянии , а на вход поступил сигнал

Число таких распределений (таблиц) равно числу элементов множества G.

Обозначим множества таких таблиц через В, тогда Р=<z, x, y, В> - называется вероятностным автоматом (Р-автоматом).

Пусть имеются вероятности перехода Р-автомата в состоянии zk с сигналом yi при условии, что zs, а на вход поступил сигнал xi. При этом:

(независимы)

Если для имеет место соотношение: , то такой Р-автомат называется вероятностным автоматом Мили.

При этом для P=<z, x, y, В> может или переход в новое состояние, или выходной сигнал осуществляться детерминировано. Соответственно автомат будет называться z- или y- детерминированным вероятностным автоматом.

Для рассмотренного выше автомата для билетов, если он работает с ошибками, необходимо составить матрицу вероятности перехода из одного состояния zs в zk. Эта матрица будет квадратной:

Zk Zs	0	1	2	3	4	5
0	0	1/3	0	1/3	1/3	0
1	0	0	0,25	0	0	0,75
2	0,2	0	0,7	0	0,1	0
3	0,15	0,4	0	0,35	0	0,1
4	0	0	0,5	0,5	0	0
5	0	0	0	0	0	1

Непререрывные-стохастические модели (Q-схемы)

Типовые схемы для СМО (телефонные станции, железнодорожные справочные и т.п.). В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две составляющие:

-ожидание обслуживания заявки;

-время обслуживания заявки.

Можно изобразить в виде абстрактного прибора обслуживания Пi:

Ui

Hi Ki

Wi Yi

Пi

П

H

H

i состоит из накопителя заявок Hi с емкостью Li и канала обслуживания Ki.

В накопителе может быть Li=0÷ Li. заявок.

В прибор Пi поступают потоки событий:

-в накопителе Нi поток заявок Wi

-в канале обслуживается поток обслуживаний Ui (сколько может обслужить или интервал времени м/д началом и окончанием обслуживания заявки)

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Потоки могут быть однородными и неоднородными. В приложениях при моделировании систем применительно к каналу обслуживания Ki считают, что поток заявок WiЄW – неуправляемые переменные, а поток обслуживания UiЄU есть подмножество управляемых переменных. Заявки, обслуженные каналом Ki, и заявки, покинувшие прибор Пi по разным причинам не обслуженными (из-за переполнения Hi и т.п.), образуют выходной поток YiЄY. Интервалы времени м/д моментами выхода заявок образуют подмножества выходных переменных. Процесс функционирования Пi можно представить как процесс ∆ состояний его элементов zi(t) во времени. Переход в новое состояние для Пi означает ∆ кол-ва заявок, которые в нем находятся (канал Ki и накопитель Hi).

Вектор состояний для Пi имеет вид:

где - состояние Нi ; - состояние Ki;

=0 - накопитель пуст;

=m - в накопителе m заявок;

= - накопитель полон, - емкость накопителя Нi , измеряемая числом заявок, которые могут в нём поместиться;

=0 - канал свободен;

=1 - канал занят.

В моделях Q-схем различают приоритеты заявок. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в Hi , прерывает обслуживание каналом Ki заявки с более низким приоритетом. Вытесненная из Ki заявка может или покинуть систему, или снова разместиться в Hi. Если действует несколько Пi в системе, то необходимо указать структуру R их соединения. Кроме этого указывается алгоритм поведения заявок в модели Q-схемы, т.е. какие правила ухода из системы при истечении некоторого времени, а также виды маршрутов движения заявок. Набор всех возможных алгоритмов поведения заявок в Q-схеме обозначим через А, т.е. А – оператор алгоритмов поведения заявок. Q-схему в этом случае (СМО любой сложности) можно однозначно представить в виде кортежа: Q=<W, U, H, Z, R, A> , где

W – мн-во вх потоков

U – мн-во обслуживаемых потоков

H – подмн-во параметров накопителей

Z – мн-во состояний системы

R – оператор структуры эт-тов обслуживания (оператор сопряжения эл-тов структуры)

А – оператор алгоритмов обслуживания заявок

В силу сложности реальных систем для их моделирования используют метод декомпозиции (расчленение системы на части). Каждая часть при этом может описываться одной из моделей рассмотренных выше систем. Т.к. число частей м/б значительным, то стремятся использовать некоторые универсальные математические схемы, которые охватывали бы все вышеописанные системы как частный случай. Одной из таких универсальных схем является агрегат, схемы называют А-схемами.

Агрегат как унифицированная модель характеризуется множествами моментов времени (Т), состояний в каждый момент времени (z), входным (х) и выходным (у) сигналов. Предполагается что из состояния z(t) в состояние z(t+0) агрегат переходит за малый промежуток времени, переход из z(t1) в z(t2). { t2>t1} определяется внутренними параметрами агрегата h(t)ЄH и входными сигналами х(t)ЄХ.

Пусть в начальный момент времени tо состояние zо=z(tо), задаваемое законом распределения процесса z(t) в момент tо функцией L(z(tо)). Если процесс функционирования агрегата при воздействии сигнала хn описывается случайным оператором V, то в момент tnЄT при поступлении сигнала хn можно определить состояние z(tn+0)=V[tn,z(tn),xn]. Если интервал времени (tn, tn+1) не содержит ни одного момента поступления сигналов, то для tЄ(tn, tn+1) состояние агрегата определяется случайным оператором U в соответствии с соотношением U[t, tn, z(tn+0)]=z(t). Совокупность случайных операторов V и U рассматривается как оператор перехода агрегата в новые состояния, при этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний δz в моменты поступления входных сигналов х (оператор V) и изменением состояний м/д моментами tn и tn+1 (оператор U). Скачка состояний могут происходить в моменты t и без поступления входных сигналов. Эти моменты обозначим tδ. Для описания таких скачков состояний в моменты tδ вводится оператор W (частный случай U), т.е. z(tδ+0)=W[tδ,z(tδ)]. Во множестве z выделяется подмножество z z, такое что если z(tδ) достигает z (т.е. «блуждание» внутри агрегата), то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала, определяемого оператором выхода y=G[tδ, z(tδ)].

Итак, под агрегатом будем понимать любой объект, определяемый упорядоченный совокупностью рассмотренных множеств: T, X, Y, Z,Z, H

И случайных операторов – V-состояние сигнала, U-состояние без сигнала, W-состояние скачки, G-порог состояния.

Последовательность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления в А-схему , называется входным сообщением (Х-сообщением), а выходным У-сообщением.

Для полного описания функционирования агрегата необходимо установить правило взаимосвязи его частей.

Введем предположения (правила):

1. Для описания сигнала достаточно некоторого набора характеристик;

2. Элементарные сигналы передаются в системе независимо друг от друга по элементарным каналам;

3. Ко входному контакту любого элемента подключается не более одного элемента (сигнала);

4. К выходному контакту м/б подключено любое конечное число элементарных каналов при условии, что ко входу такого элемента подключается не более одного элемента канала.

5. взаимодействие м/д А-схемой и внешней средой Е, которую можно считать, как агрегат Ао, осуществляется передачей сигналов. При этом взаимные влияния вне механизма обмена сигналами (помехи) не учитываются.

Сигнал выдаваемый А-схемой во внешнюю среду t, принимается элементом Ао, как входной сигнал элемента Ао является входным сигналом для А-схемы. Оператор сопряжения элементов (агрегатов) в А-схему обозначим через R. Совокупность множеств входов {хi} и выходов {ykl}, а также R образуют схему сопряжения элементов в систему S.

Схему сопряжения можно представить в виде следующей таблицы:

	i контакты вход
i элементы	n	1	2	3	4	5
	0	1,1	3,1	4,1	4,2	2,2
	1	0,1		, Элемент, от которого получен сигнал (k)
	2	0,2	1,3	Контакт-выход этого элемента (l)
	3	1,2	2,1
	4	2,1