Лекции 1-6-7-Численное интегрирование

Геометрическая интерпретация основной задачи определенного интегрирования для функции одной переменной

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной:

1. сверху - графиком интегрируемой функции, например f(t)=V(t);

2. снизу – осью абсцисс, в данном случае t;

3. слева – нижней границей интегрирования, которая называется нижним пределом интегрирования,

в данном случае t = a;

4. справа – верхней границей интегрирования, которая называется верхним пределом интегрирования,

y

в данном случае t = b.

f(t)=V(t)

f(b)

f(t)

f(a)

t

a

dt ≈ 0

b

t

Классическое определение и запись

Определенного интеграла функции f(t) на отрезке [a,b]

Функция F(t)называется первообразной подынтегральной функции f(t) , если ее производная F`(t)= f(t)

Если известна по справочным таблицам первообразная F(t) подынтегральной функции f(t) или ее можно найти аналитическим способом, то тогда

В ином случае (когда неизвестна первообразная), применяют численные методы, например метод прямоугольников, трапеций, Симпсона и др.

Анализ пройденного пути за время от t_o до t₆ по графику скорости движения V(t)

Используется численное равенство пройденного пути на этом участке времени площади Q под кривой графика V(t)

Площадь Q является интегралом V(t),

t_o – нижним пределом интегрирования,

t₆ – верхним пределом интегрирования

Виртуальная (модельная) геометрическая интерпретация процесса вычисления интеграла методом прямоугольников

Геометрическая интерпретация реального процесса вычисления интеграла методом прямоугольников

Численное интегрирование

Метод прямоугольников

Введем общие обозначения для индексов:

i – индекс очередного повышения количества сегментов N_i ;

n – индекс номера сегмента

Вывод: Если N_i >>N₂ , то тогда E_i << E₂

Например, один из способов циклического уменьшения t

Тогда каждому N_i будет соответствовать свое S_i

текущая погрешность E_i ≈ |S_i - S_i-1|

Критерий точности вычислений E_i ≤ |S_i - S_i-1|

Метод трапеций

Cпособ циклического уменьшения t может быть тот же, что и в методе прямоугольников, то есть, например,

Тогда каждому N_i будет соответствовать свое S_i

чем больше N_i, тем ближе S_i к точному значению интеграла

текущая погрешность E_i = |S_i-S_i-1|

Критерий точности вычислений E_i ≤ |S_i-S_i-1|

Метод Симпсона

Интеграл от простых функций легко вычисляется для алгебраических функций, например параболы. Если F`(t)=y(t) = At² + Bt + C, то тогда

Для метода Симпсона любое N_i - должно быть четным

Частная задача: Необходимо найти встраиваемую параболу,

то есть вычислить коэффициенты A = ?, B = ? и С = ?.

Для этого составляем и решаем систему из 3-х уравнений:

Затем подставляем полученные А₂, B₂ и С₂ в формулу интеграла для параболы и вычисляем первый сегмент площади S₁ и т.д.

Интегрирование функции двух переменных

Примеры графического представления функций нескольких переменных:

функция параболоида вращения

F(x,y)=z(x,y)=x²+ y²- d

А если это уравнение

F(x,y)=x²+y²- d = 0 ?

А если это системы уравнений ?

x²+y²- d = 0 x²+y²- d = 0 x²+y²- d = z x²+y²- d = z

z = 0 x = 0 x=0 y = 0; z=0

Геометрическая интерпретация основной задачи определенного интегрирования для функции двух переменных:

Например, найти объем среды под поверхностью параболоида вращения, ограниченной:

1. сверху – поверхностью параболоида, описываемой функцией z(x,y);

2. снизу – прямоугольником с границами: x ∋[c,d] и y ∋[a,b];

спереди – нижним пределом интегрирования по x = c;

3. сзади – верхним пределом интегрирования по x = d;

слева – нижним пределом интегрирования по у = a;

4. справа – верхним пределом интегрирования по у = b.

Фрагмент блок-схемы алгоритма численного

интегрирования методом прямоугольников

Фрагмент блок-схемы алгоритма численного

интегрирования методом трапеций

Фрагмент блок-схемы

алгоритма численного

интегрирования

методом Симпсона

Контрольное задание №7

«Алгоритм расчета объема кладки фрагмента стены»

Дано:

Основание стены имеет форму прямоугольника с размерами

x ∋[c,d] и y ∋[a,b], где с=-s, d=10+s, a=-G , b=5+G

Верхняя грань стены является плоскостью, описываемой уравнением z = f(x,y)= Gx + (G+2)y + (10+S),

Погрешность вычисления объема Е=0,1

Составить:

Блок-схему алгоритма и алгоритм на естественном языке

Вычислить:

Объем фрагмента стены V=? с погрешностью Е=0,1

Фрагменты макета логической схемы программы и блок-схемы алгоритма

двойного численного интегрирования (выч. объема) методом прямоугольников

При составлении самой программы на языке BBC Basic переменные с индексами

в макете логической схемы должны быть заменены, например, на массивы !!!!!

Замена переменных с индексами на массив данных

До первой операции с такими переменными в программе объявляются массивы, например:

DIM X(5), Y(9), V(5,5), Z(5,5,5)

В операциях программы с отдельными значениями переменных их индексы вносятся в скобки, например:

X(3), Y(0), V(2,4), Z(1,2,5)