Тема 7. Теория чисел

1. Найдите частное и остаток при делении –134 на 26.

А) –5 и –4; В) 5 и –4;

Б) –6 и 22; Г) –6 и –22.

2. Если делимое и делитель увеличить в 3 раза, то:

А) частное и остаток увеличатся в 3 раза;

Б) частное увеличится в 3 раза, остаток не изменится;

В) частное не изменится, остаток увеличится в 3 раза;

Г) частное и остаток не изменятся.

3. Какие остатки при делении на 4 может давать квадрат натурального числа?

А) 0, 1; В) 0, 1, 3;

Б) 0, 1, 2; Г) 0, 2, 3.

4. Какие остатки при делении на 8 может давать квадрат нечетного числа?

А) 5, 7; В) 1, 3;

Б) 1; Г) 1, 3, 7.

5. При делении числа х⁵ на 7 остаток равен 5. Чему равен остаток при делении на 7 числа х?

А) 2; В) 4;

Б) 3; Г) 1.

6. Найдите наибольший общий делитель чисел –3791 и 3281.

А) 1; В) 17;

Б) –51; Г) 51.

7. Найдите наибольший общий делитель чисел 420, 1155 и 630.

А) 21; В) 35;

Б) 5; Г) 105.

8. Найдите наименьшее общее кратное чисел 356, 1068, 1424.

А) 356; В) 4272;

Б) –356; Г) 8544.

9. При любом натуральном п наибольший общий делитель чисел п и 2п – 1 равен:

А) п; В) 1;

Б) п – 1; Г) 2п² – п.

10. Найдите разложение дроби в конечную цепную дробь.

А) [1; 39, 1, 3]; В) [1; 4, 3, 1, 1];

Б) [4; 3, 1, 1]; Г) [4; 3, 1, 3].

11. Найдите предпоследнюю подходящую дробь при разложении дроби в конечную цепную дробь.

А) ; В) ;

Б) ; Г) .

12. Какой остаток может получиться при делении простого числа на 6?

А) 3; В) 1, 3;

Б) 3, 5; Г) 1, 5.

13. Выясните, какие из чисел 2657, 2665, 2667 являются простыми.

А) 2667, 2657; В) 2657, 2665;

Б) все числа составные; Г) 2657.

14. Найдите показатель, с которым число 7 входит в разложение числа 200!

А) 28; В) 29;

Б) 32; Г) 30.

15. Укажите, сколькими нулями оканчивается число 122!

А) 24; В) 30;

Б) 28; Г) 32.

16. Найдите количество натуральных делителей числа 1542.

А) 8; В) 6;

Б) 4; Г) 10.

17.Найдите сумму натуральных делителей числа 360.

А) 720; В) 780;

Б) 360; Г) 1170.

18.Запишите число 729 в системе счисления с основанием 7.

А) 2242₍₇₎; В) 2061₍₇₎;

Б) 1341₍₇₎; Г) 1410₍₇₎.

19. Найдите количество натуральных чисел, меньших 2006, которые не делятся ни на 13, ни на 19.

А) 1753; В) 1746;

Б) 1754; Г) нет правильного ответа.

20. Известно, что некоторое натуральное число при делении на 5 дает остаток 2, а при делении на 3 – остаток 1. Найдите остаток от деления этого числа на 15.

А) 3; В) 11;

Б) 7; Г) 13.

21. Найдите остаток при делении 15²³¹ на 16.

А) 1; В) 15;

Б) –1; Г) –15.

22. Найдите последнюю цифру числа 2³⁴¹.

А) 2; В) 6;

Б) 4; Г) 8.

23. Найдите наименьший по абсолютной величине вычет числа 484 по модулю 15.

А) –11; В) –4;

Б) 11; Г) 4.

24. Найдите наименьший положительный вычет числа 624 по модулю 25.

А) 1; В) –1;

Б) 49; Г) 24.

25. Какие из чисел образуют полную систему вычетов по модулю 6?

А) –40, –45, 31, 26, –48, –34;

Б)–40, –45, 31, –48, 25, 11;

В) –40, –45, 31, –48, 10, 11;

Г) 6, 6², 6³, 6^;, 6⁵, 6⁶.

26. Какие из чисел образуют приведенную систему вычетов по модулю 12?

А) 12, 12⁵, 12⁷, 12¹¹;

Б) 121, 12, 17;

В) 121, 17, 11;

Г) 11, –11, 5, –5.

27. Приведенная система наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 15 состоит из чисел:

А) 1, 2, ; 7, 8, 10, 11, 13, 14;

Б) 1, –1, 2, –2, 4, –4, 7, –7;

В) 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14;

Г) 14, –14, 13, –13, 11, –11, 8, –8.

28. Приведенная система вычетов по модулю 60 содержит:

А) 60 чисел; В) 30 чисел;

Б) 59 чисел; Г) 16 чисел.

29. Найдите остаток при делении 23²⁴⁷ на 7.

А) 1; В) 2;

Б) 3; Г) 5.

30. Найдите остаток при делении 7²⁰⁰ на 101.

А) 100; В) 0;

Б) 2; Г) 1.

31. Сколько существует натуральных чисел взаимно простых с числом 500 и меньших его?

А) 200; В) 150;

Б) 100; Г) нет правильного ответа.

32.Найдите сумму двух последних цифр числа 11²⁰³.

А) 1; В) 3;

Б) 2; Г) 4.

33. Решите сравнение х⁴ – х² + 3х – 1 0 (mod 4).

А) х 1 (mod 4); В) х 2 (mod 4);

Б) х 3 (mod 4); Г) сравнение не имеет решений.

34. Решите сравнение х³ – 7х + 3 0 (mod 5).

А) х 0 (mod 5); В) х 2 (mod 5);

Б) х –2 (mod 5); Г) сравнение не имеет решений.

35. Решите сравнение 10х⁴² – 5х³⁰ + 10х¹⁸ + 9х¹² + х + 4 0 (mod 7).

А) Сравнение не имеет решений;

Б) х0 (mod 7);

В) х (mod 7);

Г) нет правильного ответа.

36. Сколько решений в классах вычетов по модулю 7 имеет сравнение х⁶  1 (mod 7)?

А) 1; В) 4;

Б) 2; Г) 6.

37.Сколько решений в классах вычетов по модулю р имеет сравнение х^р–1 0 (mod р), где р — простое число?

А) 1; В) р – 1;

Б) 2; Г) р.

38 Сколько решений в классах вычетов по модулю 20 имеет сравнение х^φ(20) 1 (mod 20)?

А) 20; В) 1;

Б) 19; Г) 8.

39. Сколько решений в классах вычетов по модулю m имеет сравнение х^φ(m) 1 (mod m)?

А) m; В) φ(m);

Б) m–1; Г) φ(m) – 1.

40.Решите сравнение 4х 3 (mod 7).

А) х 1 (mod 7); В) х 5 (mod 7);

Б) х 4 (mod 7); Г) х 6 (mod 7).

41.Сколько решений в классах вычетов по модулю 404 имеет сравнение

88 х 324 (mod 404)?

А) 1; В) φ(404);

Б) 4; Г) сравнение не имеет решений.

42. Найдите порядок числа 2 по модулю 7.

А) 1; В) 3;

Б) 2; Г) 6.

43. Какие из чисел 1, 2, 3, 6 являются первообразными корнями по модулю 7?

А) 1; В) 3;

Б) 2; Г) 6.

44. Сколько первообразных корней существует по модулю 7?

А) 1; В) 3;

Б) 2; Г) 6.

45. По каким из модулей 2, 8, 10, 13, 15, 16, 18, 49 существуют первообразные корни?

А) 2, 13, 49; В) 10, 13, 15;

Б) 2, 8, 13, 16; Г) 2, 10, 13, 18, 49.

46. Определите длину периода при обращении дроби в десятичную.

А) 17; В) 1;

Б) 2; Г) нет правильного ответа.

47. Определите длину предпериода при обращении дроби в десятичную.

А) 17; В) 1;

Б) 2; Г) нет правильного ответа.

48. Найдите остаток при делении числа 123456789987654321 на 11.

А) 10; В) 0;

Б) 1; Г) нет правильного ответа.

49. Порядок числа m – 1 по модулю m, где , равен:

А) 2; В) m;

Б) 1; Г) m – 1.

50. Учитывая, что 3 является первообразным корнем по модулю 7, найдите индекс числа 6 по модулю 7 при основании 3.

А) 2; В) 4;

Б) 3; Г) 5.