Ответы, указания, решения
1.1. 10.
1.5. Указание. Подсчитать количество рёбер в полном графе с 87 вершинами.
1.7. 4094.
1.9. Указание. Подсчитать количество рёбер в соответствующем графе.
1.10. Указание. Использовать лемму о рукопожатиях.
1.18. (а) 120, (б) 176, (в) 1024, (г) 45, (д) 56, (е) 1023.
1.19. (а) 66, (б) 79, (в) 4096, (г) 220, (д) 299, (е) 4095.
1.20. 10.
1.24. Указание.
Использовать тот факт, что если F
самодополнительный граф, то F
и
содержат одинаковое количество рёбер.
1.35, 1.36. Указание. Использовать лемму о рукопожатиях.
1.37. 198.
1.59. (а) эйлеров, гамильтонов, (б) гамильтонов, (в) эйлеров.
1.64. (а) n!, (б) (n 1)!
1.65. (а) 0.5*n!, (б) 0.5*(n 1)!
1.66. Указание. Предположив, что мост существует, удалить его.
1.81. Решение. Доказательство проводится по индукции отдельно для чётных и нечётных значений n. Ограничимся чётными.
Для малых значений n утверждение очевидно.
Пусть верно для всех чётных значений n 2p. Докажем это утверждение для не содержащего треугольников графа F с n = 2p+2 вершинами. Выберем в F две смежные вершины и . Подграф F* = F {, } содержит 2p вершин и не имеет треугольников, так что, по предположению, в нем, самое большее, [4p2/4] = p2 ребер.
В графе F нет вершины, смежной с вершинами и одновременно (иначе существовал бы треугольник). Значит, если вершина смежна с l вершинами графа F*, то вершина может быть смежна, самое большее, с 2p l вершинами, следовательно, в F не больше чем p2 + l + (2p l) + 1 = (p+1)2 = n 2 / 4 = [n 2 / 4] вершин.
1.82. Указание. Использовать утверждение задачи 1.81.
1.95. Если n чётное, то 2, иначе 3.
1.99. Указание. Индукцией по числу прямых.
1.100. Решение. Доказательство проводится по индукции.
При n = 1: (F) = 0, (F) = 1. Пусть утверждение верно при n = k. Докажем, что оно верно и для графа F* с k+1-й вершиной.
Удалив одну из вершин графа F*, получим граф F, для которого, по предположению, (F) 1+(F). Так как (F) (F*), то (F) 1+(F*).
Вершина соединена, как максимум, с (F*) другими вершинами. Значит, среди 1+(F*) цветов найдется хотя бы один для правильной раскраски вершины , т.е. (F*) 1+(F*).
1.101. Любой несвязный граф.
1.103. Решение.
Построим для F остовное дерево Т. В дереве Т существуют, по крайней мере, две концевые вершины: и . Удаление этих вершин вместе с инцидентными им рёбрами превратит дерево Т в дерево Т*, граф F в граф F*. Но Т* остовное дерево для F*. Значит, F* имеет одну компоненту связности. Итак, и не являются точками сочленения.
2.1. (а) x = y = 0, x = y = 1; (б) x = y = 1; (в) x = 0, y = 1; (г) x = y = 0;
(д) x = 1, y = 0; (е) x = 1, y = 0; (ж) x = 1, y = 0, z = 0; (з) x = 0, y = 1, z = 1.
2.2. (а) x = y = 1; (б) x = y = 1, z = 0.
2.3. (б) [1001]; (в) [0000]; (г) [10101111]; (е) [11111111].
2.5. (г) 56.
2.6. (г) 65536.
2.8.
(а) СДНФ: xy
;
СКНФ: (
y)
(x
).
2.9.
(б)
y
x
xy
.
2.10.
(б)
(xy)
(x
)
(
y)
(
).
2.11.
(а)
;
(б) x
x
z
xyz.
2.13.
(г) (x
)
(y |
(
x)).
2.15.
(а) 1; (б) x
yz;
(в) xy;
(г) x
;
(д) x
z;
(е) 0; (ж)
y;
(з)
y.
2.19.
2.23. (а) xyy; (б) xyxy1; (в) xy1; (г) xyx1;
2.25. (а) xyzyzx1; (б) xyxz1; (в) xyzxyxzyzxyz1;
2.27. (а) f2; (б) f2, f4; (в) f2.
2.29. 32768. 2.31. f2, f3. 2.33. 8. 2.34. 256. 2.35. f2.
2.39. 1024. 2.40. (а) Т0, L; (б) .
2.42. Указание. Составить, например, суперпозицию вида:
((xy) z).
2.43. Указание. Показать, например, что Т0 S ≠ [Т0 S].