- •Учебно-методическое пособие по дисциплине «Высшей математике» для студентов-заочников 1-го курса
- •1.Основные формулы.
- •2. Прямая в пространстве
- •3. Прямая и плоскость в пространстве
- •4. Матрицы и определители
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •6. Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
- •4.2. Производная и дифференциал. Основные определения и свойства.
- •Производные основных элементарных функций
- •4.3. Приложения производной § Правило Лопиталя-Бернулли
- •7. Вопросы к зачету По дисциплине «Высшая математика»
4.2. Производная и дифференциал. Основные определения и свойства.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.
Основные правила дифференцирования
Если - дифференцируемые функции от х, то
.
Если , а , то имеет производную , т.е.
Производные основных элементарных функций
|
Пример. Найти производные функций
а)
Решение. а)
б)
Дифференциалом функции называется произведение ее производных на приращение независимой переменной:
В частности, при получим
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Пример. Вычислить приблизительно значение функции: при
Решение. Введем в нашем случае 1,1 = 1+0,1 или
Воспользуемся формулой (*)
Пример. Вычислить приближенно
Решение. Введем , т.е. найдем приближенно
тогда
4.3. Приложения производной § Правило Лопиталя-Бернулли
(раскрытие неопределенностей вида )
Пусть функции дифференцируемы, причем производная одной из них не обращается в нуль.
Если - обе бесконечно малые или обе бесконечно большие при т.е. если частное представляет в точке неопределенность типа то при условии, что предел отношения производных существует.
1. Для раскрытия неопределенностей типа , необходимо преобразовать существующее произведение , где
, частности
2. В случае неопределенности вида , преобразуем разность
, где , в произведение
И раскрыть сначала неопределенность если , то следует привести выражение к виду
3. Неопределенность видов раскрывается с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела степени
Пример. Найти
Решение. При получаем неопределенность вида
Пример. Найти
Решение. При имеем неопределенность . Данную функцию можно представить в виде
Это – неопределенность вида поэтому (еще раз применим правило Лопитоля) =
Итак
§ Касательная и нормаль к кривой
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
Уравнение нормали к кривой в точке
Пример. Составить уравнения касательной и нормали к линии в точке .
Решение. Находим производную данной функции и ее значение при
Подставляя значения в уравнения касательной и нормали получим: - уравнение касательной
уравнение нормали.
§ Применение производной в экономике. Эластичность функции.
Пусть одна функция , для которой существует производная . Эластичностью функции относительно переменной х называют предел его обозначают
Эластичность относительно х есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%.
Пример. Рассчитать эластичность функции и найти значение показателя эластичности при х=10.
Решение. Находим: то
Это означает, что если х возрастает на 1%, то у увеличится на 1,25%.
Пример. Найти эластичность предложения s, т.е. количество товара, предлагаемого на продажу в единицу времени, если предложение зависит от цены p, так как s=s (p).
Решение. Величина показывает, как изменится предложение с увеличением цены на 1%.
Пусть - функция предложения (установлена опытным путем),
- функция спроса.
Определим цену равновесия, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются, эластичность спроса и предложения для этой цены.
Найдем цену равновесия из условия
При р=5 имеем:
Т.о., при цене р=5 эластичность спроса . Предположим, что требуется повысить цену на товар на 10%, что вызовет снижение спроса на данный товар на 8%. Доход при этом повысится на 2%. Если же цену увеличить на 50%, то спрос уменьшится на 40%, доход увеличится на 10%.
§ Исследование функций и построение графиков
Схема.
-
Указать область определения функции;
-
найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);
-
определить четность (нечетность), периодичность функции;
-
исследовать функцию на монотонность и экстремум;
-
определить интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба;
-
найти асимптоты графика функции;
-
произвести необходимые дополнительные вычисления;
-
построить график функции.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график
Решение. 1). ОДЗ: т.е.
хє
2).
т.о. , точки разрыва функции и вертикальные асимптоты
т.е. 0 (0; 0) точка пересечения с осями координат.
3. т.е. функция нечетная, значит график симметричен относительно начала координат.
4). Находим точки экстремума функции
откуда исследуем знак второй производной при этих значениях
т.о. х=-3 – точка max, х=3 – точка min т.к. то по правилу нахождения экстремума при при знак не меняется, значит х=0 не является точкой экстремума.
5). Определим интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба.
,
значит х=0 является точкой перегиба, т.е. Т.к. не определена в точках что и сама функция и когда хє хє, то
6). Находим наклонные асимптоты графика функции.
Если существуют пределы то прямая является наклонной асимптотой графика функции. Т.е. в нашем случае
Получаем, что у =х – наклонная асимптота.
7).
х |
-3 |
0 |
3 |
||||||||
у |
- |
- |
- |
|
+ |
0 |
- |
|
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
|
- |
0 |
- |
|
- |
0 |
- |
|
- |
- |
- |
|
+ |
0 |
- |
|
+ |
+ |
+ |
|
выводы |
↗ |
↘ |
асимптота |
↘
|
точка перегиб |
↘ |
асимптота |
↘ |
↗ |
8).
§ Задачи на экстремум
Пример. Из квадратного листа жести со стороной вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют прямоугольную коробку. Найти наибольшую вместимость коробки.
Решение. Если сторону вырезанного квадрата принять за х, то объем коробки , где хє Теперь надо найти наибольшее значение функции V на этом промежутке. Критические точки получим из условия
Имеем:
Так как Находим:
следовательно, при функция V имеет максимум, но это и будет наибольшее значение. Итак, наибольшая вместимость коробки
Пример. Консервная банка имеет форму цилиндра. Каковы должны быть ее размеры, чтобы при заданном объеме V на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение. Наименьшее количество материала будет израсходовано при наименьшей полной поверхности банки. Пусть h – высота банки, х – радиус ее основания. Тогда: хє
Найдем:
Следовательно, функция S(x) имеет минимум при
Найдем высоту:
Таким образом, высота равна диаметру основания.
Пример. Некоторое предприятие стремиться к максимальной прибыли. Оно может либо увеличить объем производства, не изменяя цены, либо не изменять объема, а увеличить цену соответственно спросу. Какой путь наиболее экономически выгодный?
Решение. Пусть предприятие производит х единиц продукции по цене р(х), тогда выручка Прибыль - издержки производства. Прибыль максимальна, если Таким образом, предельная выручка равна предельным издержкам и темп роста предельной выручки меньше темпа роста предельных издержек.
Пусть
Тогда
Следовательно,
Оптимальный объем производства 150 единиц. В этом случае цена
р=50-15=35. Выручка издержки производства.
Прибыль Z=5250-3350=1900.