- •Учебно-методическое пособие по дисциплине «Высшей математике» для студентов-заочников 1-го курса
- •1.Основные формулы.
- •2. Прямая в пространстве
- •3. Прямая и плоскость в пространстве
- •4. Матрицы и определители
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •6. Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
- •4.2. Производная и дифференциал. Основные определения и свойства.
- •Производные основных элементарных функций
- •4.3. Приложения производной § Правило Лопиталя-Бернулли
- •7. Вопросы к зачету По дисциплине «Высшая математика»
2. Прямая в пространстве
22) Параметрические уравнения в прямой:
где () – точка, через которую проходит прямая, параллельно вектору
-
t – переменный параметр εR. Исключая из уравнений параметр t, получим канонические уравнения прямой:
24)Угол между двумя прямыми и находится по формуле:
=
-
Условие параллельности прямых и :
║
-
Условие перпендикулярности прямых и:
= 0
3. Прямая и плоскость в пространстве
-
Угол между прямой и плоскостью
Д = 0 находится по формуле: =
-
Условие параллельности прямой и плоскости: L ║ P A+ Bm + Cn = 0
-
Условие перпендикулярности прямой и плоскости: ║ Р
Координаты точки пересечения находятся из системы уравнений
30)
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; -3; -2) параллельно плоскости 3х-2у+4z-3=0
Решение. Ищем уравнение плоскости в виде Ах + Ву + Сz + Д = 0. Две параллельные плоскости имеют общую нормаль = (3; -2; 4). Следовательно уравнение искомой плоскости имеет вид 3х – 2у + 4z + Д = 0.
Точка М (1; -3; -2) по условию лежит в искомой плоскости. Следовательно, подставкой координат в уравнение плоскости получим тождество: Д = 0.
Отсюда находим, что Д = - 1. Уравнение искомой плоскости имеет вид 3х-2у+4z-1=0.
Пример 3. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости х-2у+2z+5=0 и удаленной от точки М (3; 4; -2) на расстояние d=5.
Решение. Уравнение искомой плоскости ищем в виде х – 2у + 2z + Д = 0.
Найдем значение Д. Т.к. точка М удалена от искомой плоскости на расстояние d = 5, то по формуле (18) записываем 5 = или 5 = т.е. 15 = (Д - 9) откуда Д = 24 и Д = -6. Условию задачи удовлетворяют две плоскости: х – 2у + 2z + 24 = 0, и
Х – 2у + 2z – 6 = 0.
Пример 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М (-2; 3; 4) и перпендикулярной прямым и
Решение. Уравнение искомой прямой имеет вид Найдем - координаты направляющего вектора этой прямой. Используя условие перпендикулярности прямых, можно записать:
По правилу решения системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными находим:
-1 2 1 2 1 -1
t = -5t, m = - t = t, n = t = 3t, где t – число
1 3 2 3 2 1
Уравнение искомой прямой есть или
Пример 5. Найти координаты точки, симметричной точке (3; 4; 5) относительно плоскости х – 2у + z - 6 = 0.
Решение. Точка симметричная точке , относительно плоскости, находится на перпендикуляре к плоскости, находится на перпендикуляре к плоскости и является концом отрезка для которого серединой будет точка N пересечения прямой и плоскости. Направляющий вектор перпендикуляра к плоскости – это вектор-нормаль этой плоскости = (1; -2; 1). Уравнение перпендикуляра к плоскости, проведенного через точку , имеет вид
или Координаты точки N пересечения перпендикуляра с плоскостью находим, решая систему (30)
Из равенства вытекает равенство 6t – 6 =0, т.е. t = 1, следовательно х = 3 + 1 = 4; у = 4 – 2 1 = 2; z = 5 + 1 = 6, т.е. N (4; 2; 6) – точка пересечения прямой и плоскости. А так как N – середина отрезка М M, то
Имеем
,
Отсюда находим т.е. точка имеет координаты (5; 0; 7).