6. Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
… Векторы
называются
линейно зависимыми, если существуют
действительные числа
…,
(из которых по меньшей мере одно отлично
от нуля), такие, что
(*)
в
противном случае (т.е. когда таких чисел
не существует) векторы называются
линейно независимыми; другими словами,
векторы линейно независимы, если
равенство (*) выполняется лишь при
Множество линейно независимых векторов называется базисом. Число векторов в базисе называется размерностью.
Пример
10. Показать, что векторы
и
образуют
базис линейного векторного пространства
и найти разложение вектора d
в этом базисе:
Решение.
Векторы
и
образуют
базис тогда, когда выполнится условие
при условии, что
решая
эту систему, получим, что
значит
и
образуют базис. Найдем разложение
вектора
базисе
Решая
эту систему, получаем: х = 80, у = -62, Z
= - 16, а вместе с этим и разложение вектора
Итак,
координаты вектора
в базисе
и
равны 80, -62, -16.
Пример 11. По координатам точек найти: А(-5; 1; 6), В(1; 4; 3), С(6; 3; 9)
а) модель
вектора
=
=
б) скалярное произведение векторов
и
в)
проекцию вектора
на вектор
пр
г)
координаты точки
делящей отрезок
в отношении 1 : 3;
Следовательно:
(см.
замечание)
Замечание!
Деление отрезка в данном отношении.
Даны две точки в пространстве
и
.
Найти координаты точки М, делящей отрезок
в отношении
По
определению
где
и
величины направленных отрезков
и
оси, проходящей через точки
и
поэтому
=
Координаты точки М находятся по формулам
В частности, координаты середины отрезка определяются формулами
Задача.
Предприятие производит изделия
и
За
рассматриваемый промежуток времени
плановый выпуск характеризуется вектором
х = (10; 7; 4). Для изготовления изделий
используется сырье
и
В
таблице приведены нормы расхода сырья
на единицу каждого изделия. Вектор С =
(7; 4; 5; 10; 2) задает стоимость единицы сырья
каждого вида, а вектор Т = (3; 2; 3; 6; 3) –
стоимость перевозки единицы сырья
каждого вида.
-
№
п/п
Изделие
Расход сырья
1
5
10
3
9
2
2
4
8
5
6
8
3
6
6
12
4
3
-
Сколько единиц сырья каждого вида потребуется для выполнения плана?
-
Установить стоимость сырья, расходуемого на единицу изделия каждого вида.
-
Определить стоимость сырья, необходимого для выполнения плана.
-
Найти стоимость всего сырья с учетом его транспортировки.
Решение. Обозначим через А матрицу норм расхода сырья на единицу каждого изделия:
через у – матрицу строку (вектор),
характеризующую количество сырья
каждого вида, требуемого для выполнения
плана, тогда у =
Проведем вычисления:
.
Теперь
можно вычислить стоимость сырья,
расходуемого на единицу изделия i
–го вида, обозначив ее матрицей-столбцом
z =
Таким образом, стоимость единицы изделия задается матрицей
Z
= (184; 161; 160)
Следовательно, стоимость всего сырья, необходимого для выполнения плана, можно вычислить по формуле
Для того, чтобы вычислить стоимость всего сырья с учетом его транспортировки, посчитаем сначала, во что обойдется его транспортировка, используя формулу
Следовательно, все
расходы составят:
Задача.
4.1. Пределы. Основные формулы
-
Свойства пределов
-
(f(x) (x))=
f(x) 
(x) -
fx · x=
-
c · f(x) = c ·
f(x)
где с = const -
(f
(x))n
= (
f (x))n -
= 
-
Первый замечательный предел
в
частности
3. Второй замечательный предел
если
то
в частности
4.
При нахождении пределов вида
=С,
нужно иметь в виду следующее:
1) если существуют конечные пределы
2)
если
то
предел находится с помощью формул:
а)
если
то
б)
если
3)
если
то
полагают
где
при
и следовательно
5.
Чтобы раскрыть неопределенность вида
,
заданную отношением двух многочленов,
надо в числителе и в знаменателе выделить
критический множитель (т.е. множитель,
равный нулю при предельном значении х)
и сократить на него.
Пример.
Найти
Решение.
При х = 1
числитель и знаменатель обращаются в
нуль, получается неопределенность
вида
.
Преобразуем данную функцию, разлагая
на множители числитель и знаменатель
по формуле
где
-
корни уравнения
6.
Чтобы раскрыть неопределенность вида
,
заданную отношением двух многочленов,
надо числитель и знаменатель разделить
на самую высокую входящую в них степень
х, а затем перейти к пределу.
Пример.
Найти
Решение.
При
числитель
и знаменатель неограниченно увеличиваются
(получаем неопределенность вида
).
Разделим числитель и знаменатель на
,
т.е. на старшую степень х. Получим:
Здесь
принято во внимание, что
,
,
.
7.
Чтобы раскрыть неопределенность вида
,
в которой
числитель и знаменатель содержат
иррациональность, следует соответствующим
образом избавится от иррациональности.
Пример.
Найти
Решение
При х = 3 числитель и знаменатель дроби
обращаются в нуль. Избавимся от
иррациональности в знаменателе, умножая
числитель и знаменатель на
.
=
Пример.
Найти
Решение
Так как
то
Пример.
Найти
Решение.
Так как
и
то
Пример.
Найти
Решение.
Это предел вида
,
где
На основании формул 4 имеем
,
т.е. предел вида
;
в соответствии с третьим случаем из
формул 4 имеем
℮
=
℮
=
℮
=
℮
=
℮
=
℮