Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лабораторная работа / Положение равновесия.doc
Скачиваний:
20
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
142.85 Кб
Скачать

Центральный институт

непрерывного образования

(Общество «Знание» России)

БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ

БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ

Положения равновесия и устойчивость нелинейных систем

Методические указания для студентов

специальностей:

210100 (код 65) - Управление и информатика в технических системах;

080507 (код 65) – Менеджмент организации;

080801 (код 65) – Прикладная информатика (в автомобилях и

автомобильном хозяйстве).

Одобрено

Редакционно-издательским советом

Балаковского Института

Бизнеса и Управления

Балаково 2007

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Исследовать устойчивость систем с однозначными и неоднозначными нелинейными характеристиками, найти и оценить устойчивость имеющихся положений равновесия.

Основные сведения

В отличии от линейных систем, нелинейные системы могут иметь несколько положений равновесия, причем одни из них устойчивые, а другие неустойчивые. Кроме того, при некоторых сочетаниях параметров и внешних воздействий система может не иметь положений равновесия.

Для нахождения положения равновесия необходимо приравнять нулю производные в дифференциальном уравнении:

X = F(X,U) (1)

При этом, если полученные векторы решения будут действительными, то положение равновесия существует, в противном случае оно отсутствует. В дальнейшем необходимо проанализировать их устойчивость. С этой целью можно использовать метод линейного приближения системы дифференциальных уравнений объекта. Необходимо записать дифференциальные уравнения в отклонениях от анализируемого положения равновесия X0. Вводим новую переменную Z = XX0 и для нее записываем дифференциальные уравнения в отклонениях от состояния равновесия,

Z = X = F(Z+X0,U) или Z = f(Z) (2)

Матрицу линейного приближения А находим путем дифференцирования вектор-функции f(Z) по компонентам вектора Z

. (3)

После определения матрицы А анализ устойчивости положения равновесия сводится к анализу собственных значений этой матрицы.

Динамику нелинейной системы второго порядка можно описать в пространстве состояний уравнениями:

(4)

где f1, f2 - известные нелинейные функции, а внешние воздействия приняты равными нулю.

Нелинейные зависимости между входными сигналами звеньев принято называть нелинейностями. Различают однозначные и неоднозначные нелинейности. К первому виду относятся характеристики, для которых значение fi определяется только текущим значением аргументов. В противном случае характеристика звена называется неоднозначной (значение входной переменной зависит, например, от текущего значения и производной входной переменной).

Фазовый портрет системы (4) можно построить методом изоклин. Изоклиной называется линия, соединяющая точки на плоскости с одинаковым углом наклона касательных (k=const), проведенных к фазовым траекториям. Уравнение изоклины имеет вид:

(5)

Сущность метода состоит в следующем. На фазовую плоскость наносится семейство изоклин, которое получается при решении уравнения (5) для различных значений k (k - , ). На каждой изоклине указывается соответствующий наклон касательной относительно оси абсцисс. Выбрав начальные условия по x1 , x2 и определив направление движнеия изображающей точки по уравнению (4), изображают фазовую траекторию. Фазовая траектория представляет собой линию, которая пересекает каждую изоклину под соответствующим углом наклона.

Если правая часть системы (4) есть неоднозначная функция, то исходные уравнения представляют как совокупность уравнений с однозначными функциями, где каждому уравнению поставлена в соответствие некоторая часть фазовой плоскости (лист). Указанные части фазовой плоскости разделяются линиями переключения, проходящими по границам листов.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.