Доведення

Якщо S_n і σ_n — частинні суми рядів та і за умовою S_n→S, σ_n →σ, то S_n+σ_n → S+σ. Оскільки S_n+σ_n частинна сума ряду , то = S +σ.

Зауваження. Збіжні ряди і можна почленно віднімати, оскільки ряд є сумою двох збіжних рядів і .

Теорема 1.5 Сума збіжного і розбіжного ряду є ряд розбіжний.

Доведення

Нехай ряд збіжний, а ряд розбіжний. Припустивши збіжність ряду , дістанемо, що ряд збіжний як різниця двох збіжних рядів і , а це суперечить умові.

Теорема 1.6 Якщо, починаючи з деякого n, члени рядів і рівні між собою і один з цих рядів збіжний, то збіжний і другий.

Наслідок. Якщо в довільному ряді дописати, відкинути або змінити скінченне число членів, то збіжність чи розбіжність від цього не зміниться.

Теорема 1.7 Якщо у збіжному ряді довільним чином згрупувати його члени, зберігаючи порядок їх слідування, то новоутворений ряд збігається до тієї ж самої суми.

1.3 Додатні ряди. Ознаки збіжності

Тепер розглянемо ряди, всі члени яких є невід'ємні числа. За традицією їх називають рядами з додатними членами, або додатними рядами.

Теорема 1.8 Для того щоб додатний ряд збігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність частинних сум цього ряду була обмежена зверху.

Доведення

Необхідність. Нехай ряд , де всі , збіжний, тобто існує скінченна границя. Звідки випливає, що , тобто послідовність частинних сум обмежена зверху.

Достатність. Оскільки послідовність частинних сум додатного ряду є неспадною, то для збіжності цієї послідовності достатньо, щоб вона була обмежена зверху.

Приклад 1.3 Дослідити на збіжність ряд

.

Розв’язування

Даний ряд розбіжний, бо його частинна сума

не обмежена зверху.

Теорема 1.9 (перша ознака порівняння). Якщо для членів додатних рядів

, (1.8)

(1.9)

виконуються нерівності для всіх , починаючи з деякого, то із збіжності ряду (1.9) випливає збіжність ряду (1.8), а з розбіжності ряду (1.8) випливає розбіжність ряду (1.9).

Доведення

Нехай i - частинні суми рядів (1.8) і (1.9), тоді справедливі нерівності .

Припустимо, що ряд (1.9) збіжний. Тоді послідовність , згідно з теоремою 1.8, обмежена зверху, а, отже, обмежена і послідовність частинних сум , тому за теоремою 1.8 ряд (1.8) збіжний.

Нехай ряд (1.8) розбіжний. Тоді і ряд (1.9) розбіжний, бо якби останній був збіжним, то за доведеним вище і ряд (1.8) збіжний.

Приклад 1.4 Дослідити на збіжність ряд

Розв’язування

Зауважуємо, що

.

Оскільки кожен член даного додатного ряду менший відповідного члена збіжної геометричної прогресії із знаменником , то вихідний ряд також збіжний.

Приклад 1.5 Дослідити на збіжність ряд

Розв’язування

Оскільки і ряд розбіжний, то розбіжний і даний ряд.

Теорема 1.10 (друга ознака порівняння). Якщо для додатних рядів існує скінченна додатна границя , то ці ряди збіжні або розбіжні одночасно.

Доведення

Яке б не було число , то знайдуться додатні числа р і q такі, що . Внаслідок умови для всіх , починаючи з деякого, виконуватиметься нерівність або .

Якщо ряд збіжний, то збіжний і ряд . Внаслідок нерівності , за теоремою 1.9, збіжний і ряд .

Коли ж ряд розбіжний, то розбіжний і ряд . Внаслідок нерівності , за теоремою 1.9, розбіжний і ряд .

Приклад 1.6 Дослідити на збіжність ряд .