Н.В. Сачанюк-Кавецька, Л.І. Педорченко, М.Б. Ковальчук

теорія рядів

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Н.В. Сачанюк-Кавецька, Л.І. Педорченко, М.Б. Ковальчук

теорія рядів

Затверджено Вченою радою Вінницького національного технічного університету як навчальний посібник студентів технічних спеціальностей. Протокол № 6 від 29 листопада 2007 р.

Вінниця ВНТУ 2008

УДК 517.5.52(075.8)

С 22

Рецензенти:

В.С. Осадчук, доктор технічних наук, професор

В.П. Кожем’яко, доктор технічних наук, професор

Л.Ф. Михайленко, кандидат педагогічних наук, доцент

Рекомендовано до видання Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України

Сачанюк-Кавецька Н.В., Педорченко Л.І., Ковальчук М.Б.

С 22 Теорія рядів. Навчальний посібник. – Вінниця: ВНТУ, 2008. -138 с.

В посібнику розглянуто основні поняття і теореми теорії рядів. Наведена достатня кількість прикладів та задач, в тому числі і прикладного характеру, які вдало доповнюють текстовий матеріал, зрозумілі і легко сприймаються. Істотною особливістю даного посібника є детальний розгляд комплексної форми ряду Фур’є, узагальненого ряду Фур’є та інтегралу Фур’є в комплексній формі. Як додатки розглянуто використання системи Maple та прикладного пакету Mathcad при розвиненні в ряд Тейлора.

До кожної теми розроблені питання для самоперевірки та розглянуто 40 варіантів завдань для самостійної роботи.

Посібник розрахований на студентів технічних спеціальностей.

УДК 517.5.52(075.8)

© Н. В. Сачанюк-Кавецька,

Л.І. Педорченко,

М.Б. Ковальчук, 2008

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА 4

Тема 1 числові ряди 5

1.1 Поняття числового ряду. Збіжні і розбіжні ряди 5

1.2 Найпростіші властивості збіжних рядів 8

1.3 Додатні ряди. Ознаки збіжності 9

1.4 Ряди з довільними членами. Знакозмінні ряди 15

1.5 Властивості абсолютно збіжних рядів 18

1.6 Розв’язування задач із використанням ознак збіжності рядів 19

Питання для самоперевірки 22

Завдання для самостійної роботи 23

Тема 2 функціональні ряди 30

2.1 Поняття функціонального ряду і області його збіжності. Поняття рівномірної збіжності функціонального ряду. Властивості рівномірно збіжних рядів 30

2.2 Степеневі ряди. Теорема Абеля 33

2.3 Властивості суми степеневого ряду 37

2.4 Формула і ряд Тейлора 40

2.5 Розвинення елементарних функцій в ряд Тейлора 43

2.6 Застосування степеневих рядів 47

2.7 Приклади розв’язування типович задач 53

Питання для самоперевірки 56

Завдання для самостійної роботи 58

Тема 3 ряди фур'є 67

3.1 Ортогональна система функцій. Ряд Фур'є 67

3.2 Ряди Фур'є для парних і непарних функцій 74

3.3 Ряд Фур'є для функції з довільним періодом 2l 78

3.4 Ряд Фур'є в комплексній формі 84

3.5 Узагальнений ряд Фур'є 87

3.6 Інтеграл Фур'є 88

3.7 Комплексна форма інтеграла Фур’є 95

3.8 Приклади розв’язування типових задач 103

Питання для самоперевірки 108

Завдання для самостійної роботи 110

ЛІТЕРАТУРА 123

ДОДАТОК А 124

ДОДАТОК В 126

Передмова

Теорія рядів є теоретичною основою таких фундаментальних курсів, як «Теоретичні основи електротехніки», «Теоретичні основи радіотехніки», «Рівняння математичної фізики» й ін. Це робить актуальним створення нових навчальних посібників з теорії рядів.

Основний принцип, яким керувались автори при підготовці курсу теорії рядів для студентів технічних вузів, – підвищення рівня фундаментальної математичної підготовки студентів з посиленням її прикладної технічної спрямованості. Це не тільки навчальний посібник, але й коротке керівництво до розв’язування задач. Основи теорії, викладені в навчальному посібнику, супроводжуються великою кількістю задач (в тому числі і фізичного змісту), які наводяться з розв’язуванням, та задачами для самостійної роботи. Задачі з розв’язанням розглядаються протягом всього викладання навчального матеріалу. Задачі для самостійної роботи розглядаються в кінці кожної теми.

Посібник складається з трьох розділів. В першому розділі розглядаються поняття числового ряду, ознаки його збіжності, властивості числових рядів. В другому розділі розглядаються поняття функціонального ряду, зокрема степеневого, збіжності функціональних рядів, включаючи рівномірну збіжність, властивості абсолютно збіжних рядів. Тут також розглянуто застосування степеневих рядів, а саме рядів Тейлора до наближених обчислень. В третьому розділі розглядаються ряди Фур'є за тригонометричною системою та їх застосування; введено поняття інтеграла Фур'є та показано його застосування до задач радіотехніки.

Даний посібник може бути використаний студентами як денної, так і заочної форм навчання.

Тема 1 числові ряди

При розв'язуванні багатьох задач математики з'являється необхідність розглядати суми, які складаються з нескінченної множини доданків. 3 теорії дійсних чисел відомо, що означає сума будь-якої скінченної множини чисел. Задача додавання нескінченної множини деяких однотипних об'єктів (чисел, функцій і т.п.) постійно зустрічається в математиці.

Вже в шкільному курсі математики доводиться мати справу з виразами, що містять нескінченну множину доданків. Справді, перетворюючи звичайний дріб у десятковий, ми пишемо