- •Тема 1 числові ряди 5
- •Тема 2 функціональні ряди 30
- •Тема 3 ряди фур'є 67
- •Передмова
- •Тема 1 числові ряди
- •1.1 Поняття числового ряду. Збіжні і розбіжні ряди
- •1.2 Найпростіші властивості збіжних рядів
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •1.3 Додатні ряди. Ознаки збіжності
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Доведення
- •Розв’язування
- •1.4 Ряди з довільними членами. Знакозмінні ряди
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •1.5 Властивості абсолютно збіжних рядів
- •1.6 Розв’язування задач із використанням ознак збіжності рядів
- •Питання для самоперевірки
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема 2 функціональні ряди
- •2.1 Поняття функціонального ряду і області його збіжності. Поняття рівномірної збіжності функціонального ряду. Властивості рівномірно збіжних рядів
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Властивості рівномірно збіжних рядів
- •2.2 Степеневі ряди. Теорема Абеля
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Доведення
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •2.3 Властивості суми степеневого ряду
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Розв’язування
- •2.4 Формула і ряд Тейлора
- •Доведення
- •Доведення
- •2.5 Розвинення елементарних функцій в ряд Тейлора
- •2.6 Застосування степеневих рядів
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •2.7 Приклади розв’язування типович задач
- •Розв’язування
- •Питання для самоперевірки
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема 3 ряди фур'є
- •3.1 Ортогональна система функцій. Ряд Фур'є
- •Доведення
- •Розвязування
- •Розв’язування
- •3.2 Ряди Фур'є для парних і непарних функцій
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.3 Ряд Фур'є для функції з довільним періодом 2l
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.4 Ряд Фур'є в комплексній формі
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.5 Узагальнений ряд Фур'є
- •3.6 Інтеграл Фур'є
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.7 Комплексна форма інтеграла Фур’є
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •3.8 Приклади розв’язування типових задач
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Розв’язування
- •Питання для самоперевірки
- •Завдання для самостійної роботи
- •Література
- •Додаток а
- •Додаток в
- •Порядок виконання завдання
- •21021, М. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, внту
- •21021, М. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, внту
Розв’язування
Дана функція є кусково-гладкою, оскільки вона складається з трьох гладких частин: на , на і на і має дві точки розриву першого роду , . Очевидно, що дана функція абсолютно інтегровна на всій числовій осі, оскільки поза відрізком вона дорівнює нулю, і інтеграл від неї по всій числовій осі зведеться до інтеграла по відрізку .
Таким чином, цю функцію можна подати інтегралом Фур'є; за формулою (3.51) маємо
.
В точках розриву х=0 і ч х=1, одержане подання зберігається, оскільки в цих точках
.
Зокрема, при х=0 одержимо
,
що рівносильно рівності
.
Приклад 3.14 Подати інтегралом Фур'є функцію (рис. 3.9)
Рисунок 3.9
Розв’язування
Ця функція є кусково-гладкою, оскільки вона складається з двох гладких частин і має один розрив першого роду в точці х=0.
Покажемо, що функція f(х) абсолютно інтегровна на всій числовій осі.
Для цього достатньо показати, що збіжним є інтеграл . Дійсно,
.
Отже, функцію f(x) можна подати інтегралом Фур'є, а оскільки вона є непарною, то можна скористатися формулою (3.58):
.
Інтегруючи частинами, знайдемо внутрішній інтеграл
.
Звідки
.
Таким чином,
.
3.7 Комплексна форма інтеграла Фур’є
Маємо
як інтеграл від непарної функції за змінною із симетричними межами;
як інтеграл від парної функції за змінною .
Запишемо формулу (3.51) у вигляді
Зробивши заміну , одержуємо інтеграл Фур'є в комплексній формі:
, (3.60)
або
. (3.61)
Позначимо
, (3.62)
тоді інтеграл Фур'є запишеться так
. (3.63)
Функцію називають перетворенням Фур'є функції , або, враховуючи фізичні міркування, спектральною щільністю функції . Модуль називається амплітудним спектром функції . Формулу (3.63) називають оберненим перетворенням Фур'є.
Одержані вище формули (3.57) і (3.58) для неперервної функції , у випадку коли вона парна або непарна, можна відповідно записати так:
, (3.64)
де
(3.65)
і
, (3.66)
де
. (3.67)
Функції називаються відповідно косинус- перетворенням і синус-перетворенням Фур'є для даної функції . Рівності (3.64) і (3.66) визначають відповідно обернені косинус- і синус- перетворення.
З рівності (3.62) випливає, .
Приклад 3.15 Знайти спектральну функцію і амплітудний спектр функції
.
Подати комплексною формою ряду Фур'є.
Розв’язування
За формулою (3.62) знаходимо спектральну щільність функції, враховуючи, що при .
оскільки підстановка верхньої межі дає нуль. Дійсно, за формулами Ейлера маємо:
.
При , внаслідок того що - нескінченно мала функція, а - обмежені функції. Отже, і дійсна, і уявні частини функції прямують до нуля. Це означає, що
Амплітудний спектр
.
Комплексна форма (3.60) інтегралу Фур'є даної функції має вигляд
Рисунок 4
(рис. 3.10).
РРисунок 3.10
Розв’язування
Функція задовольняє всі умови інтегральної теореми Фур'є. Обчислимо спектральну функцію:
Отже, шукане подання матиме вигляд
Виділивши тут дійсну і уявну частини, можна записати одержаний результат в дійсній формі
Приклад 3.17 Розвинути в ряд Фур'є функцію (трикутний імпульс)