Завдання для самостійної роботи
Завдання 2.1 Знайти інтервал збіжності степеневого ряду і дослідити його поведінку на кінцях інтервалу збіжності
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Завдання 2.2 Розкласти в ряд Маклорена функцію
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Завдання
2.3
Розвинути
в ряд Тейлора за степенями
функцію
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Завдання 2.4 Використовуючи розвинення в ряд Тейлора, обчислити з точністю до 0,001
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
,
;
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Завдання 2.5 Використовуючи розклад в ряд Тейлора, обчислити перші чотири відмінні від нуля члени розв’язку диференціального рівняння
1.
;
2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
; 12.
;
13.
; 14.
;
15.
16.
;
17.
; 18.
;
19.
; 20.
;
21.
; 22.
;
23.
; 24.
25.
; 26.
;
27.
; 28.
;
29.
; 30.
;
31.
32.
;
33.
; 34.
;
35.
; 36.
;
37.
; 38.
;
39.
; 40.
.
Тема 3 ряди фур'є
3.1 Ортогональна система функцій. Ряд Фур'є
Нехай на відрізку [а;b] задано дві інтегровні функції f(х) і g(x).
Функції f(x) і g(x) називають ортогональними на відрізку [а; b], якщо
.
Приклад
3.1 Функції
sin
x
і
cos
x
ортогональні
на відрізку [-
;
],
оскільки
.
Нехай f(х) є непарна функція, a g(x)- парна. Такі функції на відрізку [-а;а], де а - довільне число, ортогональні.
Скінченну чи нескінченну систему (множину) функцій f(x), f2(x), ... , fk(x), ... називають ортогональною на відрізку [a,b], якщо будь-які дві різні функції цієї системи ортогональні на цьому відрізку, тобто
.
Приклад 3.2 Довести, що система функцій
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos nx, sin nx, ... (3.1)
ортогональна
на відрізку [-
;
].