2.5 Розвинення елементарних функцій в ряд Тейлора

1. Функція .

Оскільки дана функція в кожній точці числової осі має похідну будь-якого порядку , то і вона породжує степеневий ряд

Цей ряд збіжний при будь-якому саме до функції , бо на будь-якому відрізку для кожному натурального :

.

Отже,

. (2.17)

2. Функція .

Ця функція при будь-якому має всі похідні, причому

Тоді

Отже ця функція породжує степеневий ряд

Цей ряд збіжний при будь-якому саме до функції , бо при довільному і для кожного натурального :

.

Таким чином при маємо

(2.18)

3. Функція .

Рівність

(2.19)

доводиться аналогічно рівності (2.18), або почленним диференціюванням останньої.

4. Функція .

Знайдемо ряд Тейлора для цієї функції, виходячи з очевидної рівності

яка виконується при (бо праворуч маємо геометричну прогресію зі знаменником ). Використовуючи можливість почленного інтегрування степеневого ряду, дістанемо

Відмітимо, що шляхом безпосереднього дослідження залишкового члена формули Тейлора можна переконатися у справедливості останньої рівності і при .

Отже,

(2.20)

5. Функція .

Інтегруючи рівність

справедливу при (геометрична професія зі знаменником ), дістанемо

Як і в попередньому прикладі можна довести, що остання рівність виконується при .

Отже,

(2.21)

6. Функція , де - довільне дійсне число.

Для цієї функції маємо

тому функція породжує степеневий ряд ()

і його називають біноміальним рядом.

Оскільки за ознакою Д’Аламбера

то біноміальний ряд збіжний при і розбіжний при.

Доведемо, що при цей ряд збіжний саме до функції . Справді, нехай при

(2.22)

тоді

(2.23)

(2.24)

Почленним додаванням рівностей (2.23) і (2.24) з урахуванням (2.22) маємо

що можна записати у вигляді

Тому (- стала), звідки . Але . Підставляючи це значення у формулу (2.22), дістанемо рівність

(2.25)

справедливу для інтервалу . Ця рівність узагальнює відому формулу бінома Ньютона на випадок будь-якого дійсного показника.

Зауваження. Можна довести що при рівність (2.25) справджується на відрізку , при – на півінтервалі , при на інтервалі .

Зазначимо, що експоненціальна функція та тригонометричні функції пов'язані між собою формулами Ейлера. Виведемо ці формули. У ряді (2.17) формально замість приймемо (уявна одиниця). Матимемо

. (2.26)

У круглих дужках цієї рівності містяться ряди, які зображають, відповідно, функції . Тому рівність можна записати так:

. (2.27)

Якщо в ряді (2.17) замість формально прийняти , то дістанемо таку рівність:

. (2.28)

Тоді з формул (2.27) і (2.28) знаходимо

. (2.29)

Формули (2.27) і (2.28) називають формулами Ейлера.

2.6 Застосування степеневих рядів

1. Наближене обчислення значень функцій

Нехай функція в деякому проміжку розвивається в степеневий ряд

Тоді легко наближено обчислити значення функції шляхом заміни її скінченним числом перших членів цього розкладу.

Чим менше , тим менше членів береться для обчислення з бажаною точністю. Якщо х дуже мале, то достатньо обмежитись тільки двома першими членами, відкинувши всі останні. Таким чином, дістаємо дуже просту формулу для , яка при малих цілком може замінити часто досить складний точний вираз для .

а) Обчислення значень тригонометричних функцій

Степеневі ряди (2.18) і (2.19) можна використати для обчислення значень тригонометричних функцій і . Оскільки ряди знакозмінні, то залишок ряду не перевищує за абсолютною величиною першого з відкинутих членів. Для матимемо

, (2.30)

. (2.31)

Користуючись формулами (2.30) і (2.31), можна підібрати найменше число таке, щоб дістати значення і з наперед заданою точністю.

Відмітимо, що ряди (2.18) і (2.19) швидше збігаються при малих значеннях . Доцільно обчислювати за допомогою цих рядів значення синуса і косинуса для кутів від до . Значення ж цих функцій для кутів від до легко обчислити, якщо скористатись формулами:

.

А значення функцій та для кутів від до знаходяться за допомогою формул зведення.

Зауваження. Для обчислення кути, виражені в градусах потрібно перевести в радіани.

Приклад 2.12 Обчислити з точністю до .