Розв’язування

Виберемо для аргументу х крок h = 0,1. Оскільки , отримаємо для аргументу t такий крок :

.

Помічаємо, що початкова і крайові умови задачі симетричні відносно прямої . Тому і розв’язок буде також симетричним відносно цієї прямої.

Спочатку обчислимо значення функції на нульовому шарі , тобто для та ; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5.

Результати обчислень зручно подати у вигляді таблиці.

Початковий рядок цієї таблиці заповнюється на основі заданої початкової умови

, .

Матимемо такі значення функції :

…

У перший та у останній стовпці записуємо дані крайових умов

,

тобто,

,

.

Решта рядків таблиці послідовно заповнюється на основі розрахункової формули (5.9):

.

Таблиця 4.1 – Розв’язання рівняння теплопровідності методом сіток

j	і	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
0	0	0,0000	0,3090	0,5878	0,8090	0,9511	1,0000	0,9511	0,8090	0,5878	0,3090	0
1	0,005	0	0,2939	0,5590	0,7695	0,9045	0,9511	0,9045	0,7695	0,5590	0,2939	0
2	0,010	0	0,2795	0,5317	0,7318	0,8603	0,9045	0,8603	0,7318	0,5317	0,2795	0
3	0,015	0	0,2659	0,5057	0,6960	0,8182	0,8603	0,8182	0,6960	0,5057	0,2659	0
4	0,020	0	0,2529	0,4610	0,6620	0,7782	0,8182	0,7782	0,6620	0,4610	0,2529	0
5	0,025	0	0,2405	0,4575	0,6296	0,7401	0,7782	0,7401	0,6296	0,4575	0,2405	0

При цьому, звичайно, доцільно враховувати симетрію шуканої функції.

Заповнимо перший рядок таблиці, обчислюючи значення шуканої функції за формулою:

,

використовуючи отримані значення функції з початкового рядка і крайові умови для .

Таким чином, матимемо:

;

;

;

;

.

Враховуючи те, що шукана функція симетрична відносно прямої , то наступні значення можна записати, не обчислюючи їх:

;

;

;

;

.

Записуємо отримані значення у перший рядок таблиці. Після цього переходимо до обчислення значень функції на другому шарі за формулою:

,

використовуючи отримані значення функції з першого рядка (з першого шару) і відповідні крайові умови.

Аналогічно заповнюємо решту таблиці, обчислюючи значення шуканої функції за формулою (4.9).

Оцінка похибки

Для даної задачі:

.

Отже, ,