Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
!!шпоры!! по ВМ.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
27.11.2018
Размер:
569.86 Кб
Скачать

3Правила округления. Погрешность машинной арифметики.

Рассмотрим процесс чисел, записанных в десятичной системе. Оно производится по правилу первой отбрасываемой цифры:

  • если первая из отбрасываемых цифр м е н ь ш е 5, то оставляемые десятичные знаки сохраняются без изменения;

  • если первая из отбрасываемых цифр б о л ь ш е 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

  • если первая из отбрасываемых цифр р а в н а 5, а за ней идут не нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

  • если первая из отбрасываемых цифр р а в н а 5 и все значащие цифры, идущие за ней, – нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остаётся без изменения, если – чётная.

Это правило округления обеспечивает увеличение абсолютной погрешности не более, чем на половину последнего сохраняемого разряда.

При округлении целого числа отброшенные знаки не следует заменять нулями, надо применять умножение на соответствующие степени 10. Например: если число надо округлить до пяти десятичных знаков после запятой, то имеем .

В основе процессов округления лежит идея минимальности разности числа и его округлённого значения.

Поведение вычислительной погрешности зависит от правила округлений и алгоритма численного решения задачи.

5 Задача отделения корней.

Отделить – указать интервал на котором находится корень уравнения.

Пользуются 2 теоремами:

Больцмана-Коши

Если функция непрерывна на отрезке AB и на концах этого отрезка принимает значение разных знаков, то на этом отрезке существует по крайней мере 1 корень.

2 Теорема

Пусть функция непрерывна и дифференцируема на отрезке AB тогда на этом отрезке существует единственный корень, если 1-я производная функции сохраняет свой знак.

Методы отделения корней

- графический метод,

- исследование на экстремум,

- табуляция функции.

6 Метод деления отрезка пополам.

Один из методов уточнения корней.

Сущность метода базируется на основе теоремы о среднем.

Допустим, если и , тогда . Далее в процессе используем следующие условия.

или

. Скорость данного метода =1/2*к, где к – номер шага. .

Метод половинного деления. Предположим, что f(a)f(b)<0. Разделим отрезок [a,b] пополам и вычислим значение функции f(x) в точке x=(a-b)/2. Может случиться так, что f((a+b)/2)=0 тогда корень уравнения найден. Если же , то на концах одного из отрезков [a;(a+b)/2] или [(a+b)/2; b] функция будет принимать значения разных знаков. Обозначим этот отрезок через [a1; b1] и заметим, что |b1-a1|=|b-a|/2. Если |b1-a1|<e, то любая точка интервала (b1;a1) может быть принята за приближенное значение корня. Если же |b1-a1|>=е, то, положив а=а1, b=b1 и продолжая процесс деления отрезка пополам, на каком-то конечном шаге получим точное значение корня, либо через конечное число шагов длина (a-b) станет меньше е. В последнем случае за приближенное значение корня можно принять любую точку отрезка [a-b] (желательно его середину).

Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, метод прост и надежен, всегда сходится.