2. Полиномиальное сглаживание: фильтр Савицкого-Голея

В методе скользящего среднего все данные усредняются с одним и тем же коэффициентом, равным 1/(2m+1). Более эффективное сглаживание данных можно осуществить при помощи фильтров, использующих взвешенное усреднение. Веса можно выбрать так, чтобы аппроксимировать данные многочленом второй степени. Этот метод сглаживания называется фильтрацией по Савицкому-Голею.

При ширине фильтра 2m+1 точек средние значения равны

_j=-m

y_k' = 1/NORM  c_jy_k+j (11)

^j=-m

Весовые коэффициенты c_j для фильтров различной ширины табулированы (табл. 1).

Таблица 1. Весовые коэффициенты для сглаживающих фильтров Савицкого-Голея различной ширины (см. уравнение (11)).

Ширина фильтра (число точек)	15	13	11	9	7	5
-7	-78
-6	-13	-11
-5	42	0	-36
-4	87	9	9	-21
-3	122	16	44	14	-2
-2	147	21	69	39	3	-3
-1	162	24	84	54	6	12
0	167	25	89	59	7	17
1	162	24	84	54	6	12
2	147	21	69	39	3	-3
3	122	16	44	14	-2
4	87	9	9	-21
5	42	0	-36
6	-13	-11
7	-78
NORM	105	143	429	231	21	35

Значение NORM равно сумме всех величин . c_j. Кривая 3 рис. 2 демонстрирует применение к исходным данным фильтра Савицкого-Голея шириной 5 точек. По сравнению с фильтрацией методом скользящего среднего с той же шириной окна структура исходных данных сохраняется значительно лучше.

Для выбора подходящего фильтра можно пользоваться следующими правилами.

• Ширина фильтра должна быть приблизительно равна половине ширины пика (полосы). Если ширина фильтра слишком мала, глаживание будет недостаточным. В случае слишком широкого фильтра форма пиков искажается (рис. 2).

• Искажение пиков меньше сказывается на их площади, чем на их высоте. Поэтому, если требуется вычислить лишь площади пиков, ширину фильтра можно выбрать побольше.

• При многократном применении одного и того же фильтра

наибольший эффект сглаживания (> 95%) достигается при первой фильтрации. Поэтому обычно бывает достаточно применить фильтр только один раз.

Существуют и специальные рекурсивные фильтры, использующие уже сглаженные данные и позволяющие осуществлять быструю фильтрацию непосредственно в процессе регистрации данных. Среди рекурсивных фильтров чаще всего используют фильтр Калмана.