2. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть система уравнений

осуществляет взаимно − однозначное соответствие между областью (D) плоскости 0xy и областью (G) плоскости 0uv, пусть при этом функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемы и якобиан

отличен от 0 во всех точках области G. Тогда имеет место формула замены переменных в двойном интеграле

(1)

Этой формулой пользуются в тех случаях, когда область (G) имеет более простую форму, чем (D). В частности, при переходе в полярную систему координат

J(u;v) =  и

(2)

Пример 3. Перейти к полярным координатам и вычислить двойной интеграл где область (D) задана неравенствами x² + y²  2x + 2y, x² + y²  4.

Решение. Построим область (D) в прямоугольной системе координат.

Неравенство x² + y²  2x + 2y равносильно неравенству (x–1)² + (y–1)²  2. Поэтому областью (D) интегрирования является множество точек плоскости, находящихся внутри окружности (x–1)² + (y–1)² = 2 и вне окружности x² + y² = 4 (заштриховано). Осуществим переход к полярной системе координат:

Тогда область (D) перейдет в область (G), задаваемую системой неравенств

или

Последняя система равносильна двойному неравенству .

Переменное  меняется в пределах от 0 до 2, а  меняется от 2 до

2(cos + sin):

Применяя формулу (2), получим

П

ример 4. Вычислить двойной интеграл где область (D) задана неравенствами 0 < x < 2, tgx  y  2tgx,

ctgx  y  3ctgx, сделав надлежащую замену переменных.

Решение. Построим область (D) в декартовой прямоугольной системе координат. Сделаем замену переменных

Выразим x и y через u и v. Имеем:

Из условия задачи следует, что т.к. , значит

Найдем якобиан преобразования

где

Область интегрирования (D) в системе Oxy переходит в системе O′uv в область (G), задаваемую неравенствами

т.е. (G) оказывается прямоугольником.

В самом деле, разделим неравенство на (, т.к. ). Получим или . Разделим неравенство на получим .

Применяя формулу (1), получим

=

.

Вообще, если область D удается задать в виде

то в этом случае удобно сделать замену переменных

3. Приложения двойного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур. В декартовой прямоугольной системе координат площадь S плоской фигуры (D) выражается интегралом

При переходе к новой системе координат x = x(u;v), y = y(u,v) формула примет вид где якобиан.

В частности, при переходе к полярным координатам

(3)

Пример 5. Найти площадь фигуры, заданной неравенствами

в полярных координатах.

Решение. Неравенство определяет внешность круга с центром в начале координат и радиусом Неравенство задает внутреннюю часть двухлепестковой розы. Поэтому наша фигура ограничена вышеуказанной окружностью и лепестком двухлепестковой розы, расположенной в первой четверти.

Найдем пределы изменения . Для этого решим уравнение На отрезке 0; это уравнение имеет два решения: ₁ =  и ₂ = 3. Поэтому область (G) в полярной системе координат определяется неравенствами

Применяя формулу (3), получим

Вычисление объемов тел. Объем V цилиндрического тела (T), ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y), снизу – плоскостью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0z, выражается двойным интегралом

где (D) – проекция тела (T) на координатную плоскость 0xy.

Пример 6. Найти объем V тела Т, ограниченного поверхностями

x² + y² = 4, z = 8 – x² – y², z = 0.

Решение. Уравнение x² + y² = 4 определяет круговой цилиндр радиусом 2 с осью симметрии 0z. Таким образом, нашим телом (Т) является пуля – часть цилиндра, ограниченная сверху параболоидом Проекцией (D) тела (T) на плоскость 0xy является круг радиусом 2 с центром в начале координат.

П

оэтому

Для вычисления двойного интеграла целесообразно перейти к полярной системе координат:

Имеем

Площадь поверхности. Если в пространстве с заданной прямоугольной системой координат гладкая поверхность () задана уравнением и (D) – проекция этой поверхности на координатную плоскость 0xy, то площадь S этой поверхности выражается формулой

.

Пример 7. Найти площадь поверхности (), заданной соотношениями z = x² + y², z  4 .

Решение. В данном случае поверхностью является часть параболоида ограниченная плоскостью Проекцией () на плоскость 0xy является круг (D) радиусом 2 с центром в начале координат.

Имеем

=.

Механические приложения. Пусть имеется плоская пластина, занимающая область (D) плоскости 0xy и имеющая поверхностную плотность (x;y). Тогда масса М этой пластины вычисляется по формуле

(4)

а координаты ее центра тяжести – по формулам

(5)

Статические моменты М_x, М_y пластины относительно осей 0x и 0y вычисляются по формулам

(6)

а моменты инерции пластины относительно осей 0x и 0y выражаются формулами

(7)

Момент инерции I₀ пластины относительно начала координат равен

I₀ =. Центробежный момент пластины рассчитывается по формуле

(8)

Если   1 (пластина однородная и ее плотность всюду равна 1), то в формулах (4) – (8) моменты называются геометрическими моментами.

Пример 8. Найти центр тяжести (x₀,y₀) и геометрические моменты инерции однородной плоской фигуры (  1), заданной неравенствами

Р

ешение. Построим область (D). Для вычисления требуемых величин удобно перейти к полярным координатам.

Уравнениями линий, ограничивающих (D), будут и В самом деле:

.

Уравнение прямой в полярной системе координат: , ,

Найдем пределы изменения переменного , для чего решим уравнение

или

Отсюда находим ₁ =  и ₂ = 2. Таким образом, область (D) в полярных координатах определяется системой неравенств

Поэтому

Аналогично находим