Глава VIII Интегральное исчисление функций одного переменного

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные задачи математического анализа и его различные приложения в геометрии, механике, физике приводят к обратной задаче: по данной функции найти такую функцию , что . Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

П.1 Понятие первообразной

Определение 1. Функция называется первообразной функции на некотором интервале , если:

1. функция дифференцируема на ;

2. выполняется равенство .

Пример. Функция является первообразной для функции , так как .

Пример. Функция является первообразной для функции при .

Пример. Функция является первообразной для функции при .

Задача отыскания по заданной функции ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если - первообразная для , т.е. , то функция , где , также является первообразной для , так как .

Покажем, что множество функций исчерпывает все первообразные функции .

Теорема 1. Пусть и две первообразные функции . Тогда , где .

Доказательство:

Пусть . Тогда . По следствию из теоремы Лагранжа условие влечет за собой , т.е. . ■

Замечание. Подчеркнем, что по определению первообразной функция должна быть дифференцируемой на интервале , т.е. не любую функцию можно проинтегрировать на любом интервале.

Пример. Пусть . Тогда , , и на множестве при . Но на любом интервале, содержащем точку , функция не дифференцируема, т.е. функция не имеет первообразной на всей чиcловой оси.

Замечание. Функция является первообразной для функции , хотя определена .

Замечание. Функция имеет первообразную

,т.е. не имеет первообразных на любом интервале, содержащем точку .

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции на интервале и обозначается , причем функцию называют подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, а - переменной интегрирования.

Восстановление функции по ее производной или отыскание неопределенного интеграла от подынтегральной функции, называют интегрированием этой функции. Это операция, обратная дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Геометрический смысл неопределенного интеграла

Пусть - неопределенный интеграл от функции . При конкретных значениях получим функцию , график которой называют интегральной кривой. Множество таких интегральных кривых называется семейством интегральных кривых. Задавая начальные условия , мы получим уравнение и отсюда найдем . При этом значении кривая проходит через точку .

Пример. Пусть . Выберем ту интегральную кривую, которая проходит через точку . Тогда , и график функции проходит через заданную точку .

Вопрос о существовании первообразных мы рассмотрим позднее. Далее будет доказано, что любая непрерывная на отрезке функция, имеет на нем первообразную.