4.5. Оценка надежности взаимосвязанного комплекса элементов

Рассмотрим методы оценки надежности взаимосвязанного комплекса элементов на примере простейших структур – это последовательное (а), параллельное (б) и смешанное (в) соединение элементов.

1. Вероятность безотказной работы комплекса элементов с параллельным соединением или резервированием (рис. 4.5, схема «а») определится по формуле:

, (4.26)

или , (4.27)

где – вероятность безотказной работы i-го элемента; q_i(t) – вероятность отказа i-го элемента; n – число резервных элементов.

Рис 4.5. Схема «а» – параллельное соединение элементов системы

Схема «а» характерна для невосстанавливаемых элементов, так называемая схема с резервированием.

2. Вероятность безотказной работы комплекса элементов с последовательным соединением (рис. 4.6, схема «б») определится по формуле:

(4.28)

или , (4.29)

где n – число последовательно соединенных элементов.

1

2

3

Рис. 4.6. Схема «б» – последовательное соединение элементов системы

3.Вероятность безотказной работы комплекса элементов с последовательным и параллельным соединением (рис. 4.7, схема «в») определится по формуле:

(4.30)

Рис. 4.7. Схема «в» – смешанное соединение

6. Самостоятельная работа: построение эмпирических функций и расчет показателей надежности работы изделий

Задание 1. Определение надежности невосстанавливаемых изделий с использованием статистического метода

Условие задачи. Для определения показателей безотказной работы невосстанавливаемых изделий – электрических лампочек в поставляемой партии для продажи проводятся испытания некоторой выборки в течение периода до полного отказа лампочек выборки. По результатам испытания лампочек выборки приписывается надежность всей партии. Количество лампочек в выборке на начало испытания равно N(t_o) = 35. Фиксирование отказов проводится через каждый час (t_i). К 10 часам непрерывного горения отказала последняя лампочка. Тогда, число дискретных периодов на интервале времени испытаний – М = 10.

Исходные данные для расчета приведены в табл. 4.3.

Шаг 1. Провести расчеты показателей надежности невосстанавливаемых изделий по данным испытаний: P(t_i), Q(t_i,), (t_i) с использованием формул (4.1)-(4.4), количества исправных изделий на начало любого текущего периода (N(t_k)) и среднего времени работы до отказа (). Результаты расчета свести в незаполненные строки табл. 4.3.

Таблица 4.3. Данные по отказам невосстанавливаемых изделий и показатели безотказности электрических лампочек партии

ti	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n(ti)	0	3	3	5	8	7	6	2	1	0
F(ti)
P(ti)
Q(ti)
N(tk)
(ti)

Среднее время работы изделия до отказа:

Шаг 2. По результатам расчета сделать вывод об изменении интенсивности отказов при увеличении продолжительности эксплуатации изделия.

Шаг 3. По результатам расчета построить эмпирическую интегральную функцию распределения отказов F(t), функцию безотказной работы P(t) и функцию отказов Q(t) поведений N изделий на интервале времени М.

Задание 2. Определение надежности невосстанавливаемых изделий с использованием вероятностного метода

Условие задачи. Из анализа формул (4.5)–(4.8) и (4.10) следует, что основным аргументом функций вероятности безотказной работы и вероятности отказа является показательная функция . Поэтому обработка данных испытаний сводится к определению интенсивности отказов  на интервале времени t, в течение которого интерес представляет его безотказность. Значение функции при заданном, а, следовательно, известном показателе находится по числовым таблицам экспоненциального распределения.

Исходные данные – это доказательность экспоненциального распределения времени работы изделия и интенсивность отказов (). Дается, что распределение времени безотказной работы описывается экспоненциальной функцией и интенсивность отказов равна:

 = 2.5 (10 ^–5) , 1/ч.

Требуется:

1) рассчитать показатели безотказности P(t) и Q(t) при работе изделия в течение t = 2000, 3000, 4000 и 5000 часов.

2) построить эмпирическую функцию безотказной работы изделия P(t) от t.

3) рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение некоторого интервала t₁ – t₂, например, t₁ =1000, t₂ =2500;

4) рассчитать среднее время между отказами.

Задание 3. Определение коэффициента готовности восстанавливаемых изделия с использованием статистического метода

Условие задачи. Считаем, что время работы между отказами изделия имеет экспоненциальное распределение. Время его восстановления является случайной величиной (), принимающей следующие значения:

₁= 0,1 ч с вероятностью р₁= 0,6;

₂ = 0,2 ч с вероятностью р₂ = 0,3;

₃= 1,5 ч с вероятностью р₃= 0,1.

Среднее время работы между отказами равно= 4,36 ч.

Среднее время восстановления определяется по формуле математического ожидания:

(4.31)

Требуется вычислить с использованием формул (4.22)-(4.26) следующие показатели:

• среднюю интенсивность отказов ();

• среднюю интенсивность восстановления ();

• среднее время восстановления ();

• коэффициент готовности (R);

• коэффициент простоя (k).

Задание 4. Определение основных показателей надежности восстанавливаемых элементов с использованием вероятностного метода

Условие задачи. Изделие имеет экспоненциальное распределение времени работы между отказами и времени восстановления с параметром соответственно = 0,04 ед/ч; = 2 ед./ч. Требуется:

1) вычислить основные показатели надежности с использованием формул (4.18) и (4.19) и (4.22)-(4.25):

– вероятность безотказной работы P(t) для t =2 ч,

– вероятность отказа Q(t) за период t =2 ч,

– среднее время безотказной работы ()

– среднее время восстановления ()

– коэффициент готовности (R);

– коэффициент простоя (k)

2) вычислить и провести анализ изменения вероятности безотказной работы и вероятность отказа за более длительные интервалы времени: 4, 8, 12, 16 и 20 часов.

3) построить функцию вероятности безотказной работы и функцию вероятности отказов для оцениваемого изделия.

Задание 5. Рассчитать надежность элементарных систем с восстанавливаемыми элементами.

Условие задачи. На рис. 4.5-4.7 представлены структуры элементарных систем: схемы «а», «б» и «в». Найти вероятности их безотказной работы, применяя формулы (4.26)- (4.30) при следующей вероятности безотказности их элементов:

= 0.955; = 0.857; = 0.915; = 0.875;