1. Закон збереження енергії у коливальному контурі для функцій.

q (t) L I (t) У такому вигляді користуватися цим виразом, як звичайним рівнянням не

-------- = - ------------ можна. Ним користуються, як шаблоном. Але, підставивши замість q (t) і I(t)

2C 2 вид цих функцій, в яких визначений час, ми отримаємо формулу, якою вже

можна користуватися для рішення задач.

(qm cos ωt ) (qm ω sin ωt)

-------------- = - ---------------- Можна скоротити qm та 2 і розв’язувати задачу.

2C 2

2. Закон збереження енергії у коливальному контурі для максимальних значень.

qm LIm Водночас ці дві енергії не можуть бути максимальними.

---------- = - ----------- Ця формула показує, що енергія електричного поля конден-

2C 2 сатора переходить у енергію магнітного поля котушки.

Знак мінус вказує на те, що ці енергії протидіють одна з

одною. Можна привести таке порівняння. Якщо переливати з однієї банки у другу воду, то немає такого моменту, щоб обидві банки були повні. Але максимальна кількість води у обох банках –однакова.

3. Закон збереження енергії у коливальному контурі для миттєвих значень.

Існує такий момент часу, коли енергія електричного поля конденсатора дорівнює енергії магнітного поля котушки. Не залежно від того, з якою частотою відбуваються коливання, в цей момент часу проходить певна частина періоду, тобто певна частина від повного коливання. Прирівняємо енергії. Не забуваємо, що коли час – це визначена мить, а не змінний аргумент, то замість функцій q(t) i I(t) ,будуть тільки їх миттєві значення, визначені у цей момент часу.

q L i (qm cos ωt ) L(qm ω sin ωt) Виконаємо скорочення та підставимо

---------- = - ------- -------------- = - ---------------- 1 qm

2C 2 2 C 2 формули ω = ---------- ; С = --------

L C Um

( cos ωt ) L( ω sin ωt) sin ωt

------------ = - ---------------- ; cos ωt = - L С ω sin ωt ; cos ωt = - sin ωt ; ---------- = 1

C 1 cos ωt

π

tg ωt = 1 Тангенс якого кута дорівнює 1 ? 45*. Або --- Кут необхідно виражати через π , бо у задачах

4 використовуються і радіани і градуси.

В момент часу, коли енергія електричного поля конденсатора дорівнює енергії магнітного поля котушки, проходить π/4 частина періоду . Нагадаємо, що весь період триває 2 π. Таким чином ωt = π/4 . Якщо за умовою задачі відома циклічна частота, то можна обчистити час.

Увага! Градуси – це несистемна одиниця вимірювання! Якщо у задачі присутні секунди, то ωt треба виражати тільки у радіанах. А число π буде дорівнювати не 360*, а 3,14.

Якщо виникає необхідність перевести градуси у радіани, то треба градуси розділити на 180* та помножити на 3,14. Але у даному розділі краще завжди користуватися радіанами і переключити калькулятор на радіанну систему вимірювання. (Але, якщо у задачах не фігурує час, який вимірюється у секундах, то зручно користуватися одиницею вимірювання – градус. )

Роздивимось навчальні задачі на тему «Коливальний контур».

Параграф 6. Навчальні задачі на тему «Коливальний контур».

Навчальна задача 1.

Знайти момент часу від початку коливань, коли миттєве значення електрорушійної сили самоіндукції у котушці дорівнює 50В. Максимальне значення сили струму 0,05 А, індуктивність котушки 4Гн, електроємність конденсатора 1 мкФ. Знайти циклічну і звичайну частоту, максимальні значення заряду на обкладинці конденсатора, електрорушійної сили самоіндукції у котушці, період коливань.

e is = 50В З правої сторони виписані закони коливального контуру. q(t) = qm cos ωt

Im = 0,05 А 1 I(t) = - qm ω sin ωt

С = 1 мкФ Знайдемо циклічну частоту. ω = ----------------- =500Гц εis (t) = - Lqm ω cos ωt

L = 4 Гн 1 - 6 U(t) = Um cos ωt

ω = -------- 4 Гн ‘ 1’ 10 Ф

t , ω, ν, T, qm, εis m L C 1 qm

0,05 А -4 ω = -------- С = ------

Знайдемо максимальний заряд qm = -------------- = 1’ 10 Кл L C Um

І m = -qm ω ; qm = - І m / ω 500 Гц

Знайдемо максимальне значення електрорушійної ε ism = - 4 Гн 0.0001Кл х ω = 2 π ν І m = qm ω

сили самоіндукції у котушці ε ism =- Lqm ω х 500 Гц = - 100 В ε ism =- Lqm ω

Частоту ν знаходимо з формули ω = 2 π ν 500 Гц 1

ω 1 ν = --------- = 79,6 Гц Т = ------ qm = qm

ν = ---- , а період Т з формули Т = ------ 2 ‘ 3,14 ν

2 π ν Т = 1/ 79.6 Гц = 0.0125 с Um = І mR Um = Um

Залишилося знайти момент часу, у який миттєве значення електрорушійної сили дорівнює 50В.

Використаємо рівняння для миттєвого значення e is = - Lqm ω cos ωt

Усі величини крім часу t у рівнянні вже відомі. Але час t не можна виразити тому, що він стоїть під знаком косинуса. Тому, підставимо одразу числа та виразимо тільки cos ωt.

50В = - 4 Гн 0,0001 Кл 500 Гц cos 500t

50

------------------ = cos 500t ; 0.5 = cos 500t

4’0,0001’ 500

Тепер необхідно визначити косинус якого кута дорівнює 0,5. Здавалося б, усе просто. Це кут 60*. Але не можна прирівнювати 60* і 500t тому, що градуси і секунди відносяться до різних систем вимірювання. Переведемо 60* у радіани та прирівняємо до 500t . Необхідно розділити на 180* та помножити на число π.

60* ‘ 3.14 1,0466

------------ = 1,0466 рад тепер прирівняємо. 1,0466 = 500t ; виразимо t . t = --------- = 0,00209 с~ 2,1 мс

180 * 500

Взагалі не можна повністю відмовитися від градусної одиниці вимірювання. Вона зручна, а при радіанах майже ніколи не отримують цілі числа. Тому ω- циклічна частота задається через число π, яке у радіанах дорівнює 3,14, а у градусах 180*. Але градусами можна користуватися тільки тоді, коли ми не обчислюємо час , який вимірюється у секундах! У наступній навчальній задачі ми будемо користуватися градусами, а число π, буде мати значення 3,14 та 180* навіть в одному рівнянні.

Навчальна задача 2.

Знайти чому дорівнює індуктивність котушки, якщо у момент часу від початку коливань 1/300 секунд при частоті 50 Герц миттєве значення електрорушійної сили самоіндукції у котушці дорівнює 10В, а амплітуда

- 5

коливань заряду на конденсаторі дорівнює 1,02 ‘ 10 Кл.

t = 1/300 c Використаємо формулу для миттєвого значення електрорушійної сили самоіндукції .

ν = 50 Гц e is = - Lqm ω cos ωt

e is = 10В - 5 Підставимо формулу для циклічної частоти ω = 2 π ν і отримаємо

qm = 1,02 ‘ 10 Кл. e is = - Lqm( 2 π ν ) cos 2π ν t Усі величини, крім L – задані, виразимо індуктивність.

L - ? e is 10В

L = ---------------------------- ; L = -------------------------------------------------------- = 20Гн

qm( 2 π ν ) cos 2π ν t 1,02 ‘10 Кл(2’ 3,14’ 50 Гц) cos (2’ 180*50 ‘1/300)

Якщо π знаходиться не під косинусом, то воно завжди дорівнює 3,14, а якщо воно є аргументом косинуса, то π може дорівнювати 180*(калькулятор переключено на градуси), або 3,14(калькулятор у радіанах).

Параграф 7 Генератор змінного струму.

Слово «генерувати» означає « виробляти» або «створювати». Генератор змінного струму виробляє змінну єлектрорушійну силу, яка подається в мережу, та при замкненні кола, викликає змінний електричний струм. Електрорушійна сила, що отримується з змінного магнітного поля, набагато дешевше енергії з гальванічних елементів, які виробляють постійну напругу. Тому в наших квартирах – змінний струм. У 13 параграфі ми вчили види електрорушіних сил індукції.Згадаємо дві з них.

3. εi - електрорушійна сила індукції. Заряди переміщає змінне зовнішнє магнітне поле.

а)Електрорушійна сила індукції для рухомого магніту відносно замкненого контуру

Рухомий магніт контур ΔФ

ΔФ Змінний у часі Δt [с] зовнішній магнітний

ε i =- ----- потік ΔФ [Вб] у замкненому контурі

Δt викликає індукційний струм.

Магніт рухається відносно замкненого контуру.

б) Електрорушійна сила індукції для рухомого провідника в магнітному полі. ΔФ

ε і = ВΔ l υ cos α Замкнений контур рухається

відносно магнітного поля.

Це єдиний випадок, коли постійне магнітне поле може викли-

кати індукційний струм. Але саме таким шляхом на електростанціях отримують

електричну енергію. Там ,у магнітному полі обертається металева обмотка

та в ній виникає електрорушійна сила індукції.

ε і – електрорушійна сила індукції для рухомого провідника у магнітному полі, вимірюється у Вольтах[В],

В – вектор магнітної індукції , який створює магніт, вимірюється у Тесла [Тл], Δ l – довжина провідника, що потрапляє у магнітне поле, вимірюється в метрах[м], υ – швидкість руху провідника, вимірюється в метрах, розділених на секунду [м/с], α – кут муж вектором В і нормаллю до провідника.

Отже, ми отримаємо ЕРС індукції, якщо будемо рухати замкнений контур у магнітному полі або будемо рухати магніт біля замкненого контуру. Технічно легше магніти та контури не просто рухати, а обертати! Тому закони, що будуть описувати ці процеси, будуть нелінійні, тобто для обертального процесу.

Принципово генератор влаштовано так:

В Замкнений контур механічно обертають у магнітному полі

Змінний зовнішній магнітний потік викликає у замкненому кон-

турі електрорушійну силу індукції, (насправді магн. потік ΔФ-

постійний, але рух контуру створює ілюзію «магнітного вітру»).

А на гідроелектростанціях – навпаки: багатополюсні магніти

обертають в середині обмоток. ΔФ

Перетворимо лінійну формулу ε i =- ----- у нелінійну ф-цію:

Δt

εi(t) = - Ф’(t) Ф(t) = Фm cos ωt

механічне обертання εi (t) = - Фm ω sin ωt

ε ism =- Фm ω (Максимальне значення)

Фm = Вm S або Фm = В Sm

Магніт рухається замкнений контур

в обмотці рухається в магніті

I(t) = - І m sin ωt (Закон за яким

змінюється генерований індукц. струм)

В(t) = Вm cos ωt (обертається магніт -

залежність від часу проекції В на площу S)

S(t) = Sm cos ωt (Залежність від часу

проекції площі рамки на вектор В)

Нагадаємо, що обертальний процес описується косинусоїдальними або синусоідальними законами (стр 15).

Всі правила роботи з цими функціями такі ж самі як і у законах для коливального контуру.

1. Взявши похідну від функції Ф(t), ми отримуємо не параметр εi, а функцію залежності εi (t) .

2. Максимальні значення функцій знаходяться перед сінусом або косинусом: ε ism =- Фm ω; Фm = Фm .

3. Зафіксувавши час, ми отримаємо миттєві значення функцій ф = Фm cos ωt; e is = - Фm ω sin ωt

Увага! Чим відрізняються рамка Ампера та генератор змінного струму? Вони мають однаковий принцип дії але У генераторі механічно обертається рамка, щоб отримувалася ЕРС індукції (принцип електростанції), а в рамці Ампера – навпаки: витрачається електрорушійна сила, щоб рамка механічно оберталася (принцип електромотора).

Параграф 8. Трансформатор.

В Трансформатор знижує або підвищує напругу.

Трансформатор складається з двох обмоток (котушок)

з різною кількістю витків N. Для підсилення ККД,

змінне магнітне поле котушки насаджено на металеве осердя.

Трансформатор працює тільки від змінного струму

Розглянемо знижуючий трансформатор.

220 В . На першу котушку подано високу змінну напругу U1.

U2 По котушці проходить змінний електричний струм.

U1. Навколо неї виникає змінне магнітне поле, яке є

електрорушійною силою для другої котушки. Зверніть

увагу на те, що в другій котушці нема джерела жив-

лення, а заряди рухає змінне магнітне поле першої

котушки. Постійне магнітне поле не може являтися

електрорушійною силою, тому у першій котушці повинен

проходити змінний струм. Змінне магнітне поле , яке

створює струм першої котушки, являється зовнішнім для другої. Нагадаємо, що тільки змінне зовнішне магнітне поле може виступати у ролі ЕРС.Трансформатор працює тільки від змінного струму.

Отже, напруга зменьшується за рахунок різної кількості витків N1 і N2 у котушках.

.Напруга на першій котушці U1 (вона ж - електрорушійна сила εi) - створює змінний струм І1 , навколо якого виникає змінний магнітний потік εi.. А цей магнітниі потік Ф1 пропорційний кількості витків N1 першої котушки. U1 ~ εi ~ Ф1 ~ N1 . Нагадаємо ці формули.

U1 ~ εi εi1(t) = - Ф1’(t) Ф1 = N1 .В1 S

Електрорушійною силою для другої котушки являється змінний магнітний потік від першої котушки. Але він вже залежить від кількості витків N2 другої котушки. Так як ця кількість витків меньша, то буде меньшим і магнітний потік Ф2, що пронизує другу котушку, і електрорушійна сила εi2. N2~ Ф2~ εi2 ~ U2

Ф2 = N2 .В2 S εi2(t) = - Ф2’(t) U2 ~ εi2

Запишемо закони трансформатора.

U1 εi1 Ф1 N1

К = ------ ~ ----- ~ ----- ~ ------ К – коефіцієнт трансформації , показує у скільки разів трансформатор

U2 εi2 Ф2 N2 знижує напругу. Він пропорційний різниці кількості витків .

εi (t) = - Ф’(t) Ф(t) = Фm cos ωt Ці закони справедливі для обох котушок.

εi (t) = - Фm ω sin ωt

I(t) = - І m sin ωt

В(t) = Вm cos ωt Ф = N .В S

Якщо до трансформатона не прєднано інших приладів або елементів електросхеми, то це називають

Трансформатор на холостому ході.

Властивості трансформатора на холостому ході.

1. У першій котушці є електрорушійна сила (змінне джерело живлення) та сила струму.

2. У другій котушці котушці є електрорушійна сила (змінне магнітне поле від першої котушки) але нема сили струму, бо коло розімкнено.

В На виході з другої котушки підключають прилад, що потребує меньшої

Напруги. Він називається корисним навантаженням. Корисне навантаження - – це, наприклад, ваш мобільний телефон, який живиться від напруги 5В, а

U1 R заряджають його від зарядного пристрою, що вмикаєтьсся у мережу 220 В.

Зарядний пристрій – це і є трансформатор,що знижує напругу з 220В до 5В.

За законом збереження енергії, при зниженні напруги повині зрости частота

Струму та сама сила струму. Цьому стара.ться запобігти.

Навчальна задача на тему «Трансформатор».

Знижуючий трансформатор з коефіцієнтом трансформації К= 10 має опір вторинної обмотки 0,2 Ома та опір корисного навантаження 2 Ома. Трансформатор ввімкнено у мережу 220В. Знайти напругу на виході з трансформатора.

К = 10 В Напруга на виході з трансформатора U2 – це напруга, яку подано

R2 = 0,2 Ом на корисне навантаження R, тобто напруга на кінцях котушки 2.

Rк = 2 Ом Трансформатор знижує напругу у 10 разів. Це означає, що ЕРС

U1 = 220В U1 R у вторинній котушці дорівнює 22В. Тобто

220В

U2 - ? 22В = ----------

10

Ми можемо замість першої котушки умовно позначити у

гій котушці джерело живлення 22В, тобто у 10 разів меньша.

R Це умовне позначення електрорушійної сили. Насправді,

22В електрорушійна сила «розмита» по всій котушці, вона не

локальна.

R2 =0,2 Ом Потім схему розгортають і розв’язують задачу як на звичайне

Rк = 2 Ом послідовне з’єднання провідників. Нагадаємо, що нам треба

знайти напругу на кінцях котушки U2. Загальна напруга на

22В 22В кінцях всієї дільниці 22В. Загальний опір R = R2 + R

R = 0,2Ом + 2Ом = 2,2Ом (при послідовному з’єднанні опори

U2 Uк додаються) .

За законом Ома знаходимо силу струму

Ця сила струму однакова у обидвах провідниках: і у котушці, і у корисному навантаженні

Знову за законом Ома знаходимо розподіл напруги на котушці і на корисному навантаженні.

U2 = І R2 U2 = 10А 0,2Ом = 2В Перевіримо суму напруг U = 2В + 20В = 22В

Uк = І Rк Uк = 10А 2Ом = 20В

Отже, напруга на виході з трансформатора 2 В. Як ви розумієте, ця напруга залежить від опору корисного навантаження. Якби його взагалі не було, напруга на виході була б 22В.

Параграф 9 Фаза. Зміщення фази

Аргумент сінуса або косинуса називається фаза.

Випишимо ще раз функції, що описують коливальний контур. U Заряд q

q(t) = qm cos ωt

I(t) = - qm ω sin ωt Отже, фаза – це φo = ω t

εis (t) = - Lqm ω² cos ωt I εis

U(t) = Um cos ωt

U U

Відлік часу починають з моменту t = 0c. Тобто, з моменту, коли фаза дорівнює нулю: ω t =0. Цьому моменту часу відповідає мить, коли заряд на обкладинках конденсатора максимальний, тому що cos 0º = 1.

q(t) = qm cos ωt

q(t) = qm cos 0º

q = qm · 1

У цей же момент часу t = 0c. сила струму дорівнює нулю I(t) = - qm ω sin 0º = 0 .

Поняття зміщення фази. Вілік часу можна починати не тільки тоді, коли фаза дорівнює нулю. У аргументі косинуса або синуса з’являється доданок φ. Він вимірюється у радіанах та виражається через число π , як частина цілого періоду коливань 2 π.

Доданок φ називається зміщення фази.

Сила струму має зміщення фази відносно заряду та напрруги конденсатора на косинусоіда

I(t) = - qm ω sin ωt I(t), q(t) I(t) q(t) смнусоїда

I(t) = - qm ω cos( ωt + φ )

I(t) = - qm ω cos( ωt + π/2 ) t

Параграф 10. Електромагнітна хвиля.

Будь який прискорений рух заряджених частинок створює електромагнітну хвилю.

Наприклад, коливальний рух зарядженої кулі випромінює електромагнітну хвилю. Або обертальний рух небесних об’єктів випромінює потужну електромагнітн хвилю (квазари).

Плескання у долоні –це прискорений рух, він створює хвилю у повітрі (звук).

Рух електронів у коливальному контурі теж прискорений. Між обкладинками конденсатора утворюється змінне електричне поле. Якщо розгорнути коливальний контук, як показано на

малюнку, то ми отримаємо передаючу антену,яка випромінює електромагнітну хвилю.

Як утворюється та що собою представляє електромагнітна хвиля?

Рух електронів у коливальному контурі теж прискорений. Між обкладинками конденсатора утворюється змінне електричне поле.

ℓ Навколо змінного

Е електричного поля

перпендикулярно

утворюється віхрове

змінне магнітне поле.

Навколо цього магніт-

ного поля утворюється

віхрове змінне елект-

ричне поле. Навколо

В електричного –магнітне

Отже, розповсюдження електромагнітної хвилі не потребує зарядів.

Властивості електромагнітної хвилі.

1. Електромагнітна хвиля розповсюджується із швидкістю світла с = 3· м/с.

2. Електромагнітна хвиля не потребує середовища для розповсюдження на відміну від інших хвиль. (Наприклад хвилі на морі розповсюджуються на воді, а звукові хвилі –у повітрі). Електромагнітна хвиля розповсюджується у вакуумі. (Існування ефіру не доведено).

3. Вектор напруженості електричного поля Е[В/м] та вектор магнітної індукції В[Тл] –перпндикулярні.

4. Електромагнітна хвиля розходиться та переносить енегію(детальніше у розділі «Оптика»).

5. Закони електромагнітної хвилі.:

с –швидкість світла [м/с], -довжина хвилі [м],

ω = 2 π ν -частота [Гц], ω-циклічна частота [рад/с],

Т –період або час одного коливання[с], π = 3,14.

Параграф 11. Шкала електромагнітних коливань.

Довжина електромагнітної хвилі може приймати дуже великий діапазон значень. Від значення кардинально залежать властивості, які має хвиля. Доречі, чим більша довжина хвилі , тим меньша частота ν, тобто, тим більше довжин хвиль міститься у відстані, яку світло проходить за одну секунду. Будемо розглядати хвилі у напрямку зменшення довжини хвилі.

Чим меньша довжина хвилі, тим більше хвиля має властивомтей

частинки. На першому малюнку хлопчик купається у хвилях великої дов-

жини. Ця хвиля не взаємодіє імпульсно з хлопчиком, він просто гойдається.

Але, якщо довжина хвилі мала (другий малюнок), то вона вже може вдарити,

наче частинка і передати імпульс.Більш детально про це – у розділі «Оптика».

Низькочастотні коливання.

Діапазон: Довжина хвилі , частота

Такі хвилі випромінюють лінії високовольтних передач та космічні

об’єкти, що мають заряд. Ці хвилі огинають перешкоди розміром з

планету Земля, але вони дуже швидко розсіюються.

Радіохвилі.

Діапазон: Довжина хвилі , частота .

Радіохвилі метрового діапазону використовуються у телебаченні,

раціях. Метрові хвилі огинають великі перешкоди (будинки), тому

рація може передавати сигнал, наприклад, з підвалу Але ці хвилі

швидко розсіюються, тому на великих відстанях вони не діють.

Радіохвилі дециметрового діапазону використовуються також у теле-

лебаченні та у мобільних телефонах. Ці хвилі не втрачають енергію

на досить великих відстанях, але не можуть огинати великі перешкоди.

Тому мобільний телефон не сприймає сигнал у підземному переході.

Інфрачервоне випромінювання.

Діапазон: Довжина хвилі , частота .

Тепловий рух атомів являється прискореним і супроводжується

електромагнітним випромінюванням. Це випромінювання сприймається

приладом нічного бачення та багатьма тваринами, що полюють вночі.

Видимий діапазон електромагнітних хвиль –світло.

Діапазон: Довжина хвилі , частота .

На електромагнітні хвилі даного діапазону реагує ситківка ока, тобто

ми бачимо світло. На різні довжини хвиль око реагує як на різні кольори.

Кольори у порядку збільшення частоти називаються спектр. Саму велику

довжину хвилі має червоний колір, саму малу –фіолетовий. Порядок :

червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, блакитний, синій, фіолетовий.

Ультрафіолетове випромінювання.

Діапазон: Довжина хвилі , частота .

Це вимпромінювання спричиняє засмагу, дуже шкідливе для ситківки ока

-9 та вбиває деякі види вірусних бактерій та мікробів.