Решение типовых задач

1. В качестве возможных альтернатив конкурентной стратегии фирмы на ближайшее будущее рассматриваются следующие:

• Снижение цены

• Увеличение расходов на рекламу

• Расширение ассортимента

Возможны следующие сценарии развития окружающей среды:

• Конъюнктура фирмы останется без изменений

• Улучшение конъюнктуры

• Ухудшение конъюнктуры

Предполагаемая прибыль имеющихся альтернатив развития в зависимости от различных сценариев развития окружающей среды приведена в таблице 13 .

Таблица 13

Платёжная матрица с известной вероятностью событий

Yi / Sj	Нормальное развитие	Улучшение конъюнктуры	Ухудшение конъюнктуры
1. снижение цен	6	9	3
2. увеличение расходов на рекламу	7	8	2
3. расширение ассортимента	5	4	7
Р	0,5	0,3	0,2

Требуется выбрать наиболее благоприятное решение Y, по критерию среднего выигрыша (Байеса – Лапласа)

Пользуясь формулой 3, определим коэффициенты _i

₁ =0,5*6+0,3*9+0,2*3=6,3

₂ =0,5*7+0,3*8+0,2*2=6,3

₃ =0,5*5+0,3*4+0,2*7=5,1

Альтернативы снижения цены и увеличения расходов на рекламу оказываются одинаково благоприятными. Этот критерий оценки предполагает нейтралитет принимающего решения к риску.

Если бы элементы матрицы отражали затраты, то расчёт коэффициентов остался бы тем же, а решение выбиралось бы исходя из минимума средних затрат.

2. СМУ заказывает дневную норму раствора бетона у завода ЖБИ в сумме S условных единиц. В случае отсутствия поставки СМУ несёт ущерб в размере Т денежных единиц от простоя рабочих. Вероятность поставки составляет 0,4. Для того, чтобы повысить вероятность поставки СМУ может:

1. Послать свой транспорт; дополнительные расходы составят Р₁ ден. ед.; вероятность поставки возрастёт до 0,6;

2. Послать представителя на завод ЖБИ и свой транспорт; дополнительные расходы на командирование составят Р₂ ден. ед. плюс расходы на транспорт Р₁ ден. ед; вероятность поставки возрастает до 0,7 (если поставки не предвидится, о чём предупреждает представитель, транспорт не посылается);

3. Заказать дневную норму у другого поставщика по цене на 50% выше, чем у завода ЖБИ (т.е. сумма L>S на 50%), на условиях самовывоза (затраты равны Р₁ ден. ед); вероятность поставки дополнительного заказа составляет 1;

4. При этом с вероятностью 0,4 существует опасность двойной поставки, которая потребует дополнительных затрат на оплату сверхурочных в сумме Р₃ ден. ед.

При этом СМУ не хочет разрывать договорные отношения с заводом ЖБИ, являющимся основным поставщиком строительных конструкций.

Таблица 14.

Исходные данные к задаче

Показатель		Сумма (ден. ед.)
наименование	обозначение
Стоимость дневной поставки	S	200
Ущерб от простоя	T	800
Расходы на транспорт	P1	100
Расходы на представителя	P2	80
Сверхурочные	P3	400
Стоимость поставки от другого поставщика	L	300

Требуется определить оптимальные действия СМУ, обеспечивающие минимум потерь.

Обозначим Уi управленческие решения СМУ: 1 – оставить как есть; 2 – послать свой транспорт; 3 – послать представителя и транспорт; 4 – сделать дополнительный страховочный заказ

Ситуации Sj определяются поведением основного поставщика – завода ЖБИ: S₁ – поставка есть, S₂ – поставки нет.Оценим затраты при разных управленческих решениях в различных ситуациях. Перенесём полученные данные в платёжную матрицу затрат и воспользуемся формулой для расчёта i.

Таблица 15

Расчёт затрат и потерь

Решения	ситуации	Элементы затрат					
		S, L	T	P1	P2	P3
Y1	S1 S2	200 -	- 800	- -	- -	- -	200 800
Y2	S1 S2	200 -	- 800	100 100	- -	- -	300 900
Y3	S1 S2	200 -	- 800	100 -	80 80	- -	380 880
Y4	S1 S2	500 300	- -	100 100	- -	400 -	1000 400

Таблица 16

Матрица затрат

Yi / Sj	S1	S1	i
Y1	200	800	0,4*200+0,6*800=560
P1j	0,4	0,6
Y2	200	900	0,6*300+0,4*900=540
P2j	0,6	0,4
Y3	380	880	0,7*380+0,3*880=530
P3j	0,7	0,3
Y4	1000	400	0,4*1000+0,6*400=640
P4j	0,4	0,6

Поскольку в данной задаче эффективное решение выбирается по минимуму затрат, а не по максимуму прибыли, то Yопт=Y₃ (следует послать на завод ЖБИ представителя и по мере необходимости свой транспорт)

3. Начальник фирмы, в настоящее время выпускающего некоторую продукцию Х₁, в объёме V₁=1000 единиц, считает, что расширяется рынок продукции Х₂. Были проведены маркетинговые исследования, определившие вилки спроса на продукцию Х₁ и Х₂ (V₁^max=10000 единиц, V₁^min=5000 единиц, V₂^max=8000 единиц, V₂^min=4000 единиц,) и вероятности высокого и низкого спроса (Р₁^max=0,7, Р₁^min=1-Р₁^max=0,3, Р₂^max=0,6, Р₂^min=1- Р₂^max=0,4). Установлено, что даже минимальный спрос намного превышает действующие мощности фирмы, которые могут быть использованы для производства продукции обоих видов. Известна прибыль на единицу продукции каждого вида (П₁=1 тыс. руб., П₂=0,9 тыс. руб.). Рассчитаны затраты (К=0,4*10³ тыс. руб.) на удвоение мощности фирмы (для параллельного производства продукции Х₁ в текущем объёме и продукции Х₂ в эквивалентном количестве) V₁^тек=1000 ед. и V₂^экв= 900 ед., на увеличение мощности комбината под максимальный и минимальный спрос на текущую продукцию (K₁^max =2*10³ тыс. руб., K₁^min=1,4*10³ тыс. руб.) и под максимальный и минимальный спрос на продукцию Х₂ (K₂^max =1,2*10³ тыс. руб., K₂^min=0,8*10³ тыс. руб.).

Требуется определить целесообразность замены продукции и развития мощностей, в том числе под одновременный выпуск продукции.

Ход решения представим в виде дерева, наложенного на таблицу, и рассчитаем последствия решений (таблица 17).

Установив последствия решений при выпуске продукции одного вида (Х₁ или Х₂), определим рациональные действия во второй точке принятия решения. Для этого отбросим нерациональные действия по развитию мощностей и перенесём данные об ожидаемом выигрыше в 4-ю графу. Далее с учётом вероятности спроса на продукцию рассчитываем среднюю эффективность действий в точках разветвления событий (3-я графа). Оказывается, что продолжить выпуск продукции Х₁ при одновременном развитии мощностей выгоднее, чем перейти на выпуск продукции Х₂ вместо Х₁.

Однако мы не учли возможность одновременного выпуска продукции Х₁ и Х₂ при развитии мощностей фирмы под максимальный спрос. Поэтому из первой точки принятия решения проведём ещё одну ветвь, соответствующую данному варианту решения. Его эффективность складывается из эффективности первого и второго вариантов за вычетом затрат на первоначальное удвоение мощностей. Эффективность данного варианта является наиболее высокой, поэтому первые два варианта следует вычеркнуть.

Общий вывод: требуется существенное развитие мощностей и одновременный выпуск двух видов продукции.

последствия
Возможные действия
2-я точка принятия решения
Последствия (ожидаемый выигрыш)
События и их вероятности
Возможные действия
1-я точка приня­тия ре­шения

4. Небольшое кафе ежедневно заказывает пирожные по цене 0,70 ден.ед. за штуку и продает их покупателям по цене 1,30 ден.ед. Продать невостребованные пирожные на следующий день невозможно, поэтому остаток распродается в конце дня по цене 0,30 ден.ед. за штуку. Имеются данные о продаже пирожных за предыдущие периоды.

Таблица 18

Спрос на пирожные

Спрос на прирожные в день, шт	1	2	3	4	5
Частота	5	10	15	15	5
Относительная частота (вероятность)	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Требуется определить, сколько пирожных заказывать ежедневно.

Решение.

Предположим, что можно ежедневно заказывать 1,2,3,4 или 5 пирожных. Составим платежную матрицу возможных решений и соответствующих им исходов.

Таблица 19

Прибыль в день (ден.ед)

Спрос на пирожные в день (исходы)	Число зак-х пирожных в день (возм. решения)
	1	2	3	4	5
1	0,6	0,2	-0,2	-0,6	-1
2	0,6	1,2	0,8	0,4	0
3	0,6	1,2	1,8	1,4	1
4	0,6	1,2	1,8	2,4	2
5	0,6	1,2	1,8	2,4	3

1. Правило максимакса – максимизация максимума доходов.

Для каждого возможного решения выберем исход, обеспечивающий максимальный доход.

Таблица 20

Максимальные доходы (ден.ед)

Кол-во закупаемых пирожных в день	Максимальная прибыль
1	0,6
2	1,2
3	1,8
4	2,4
5	3

По этому принципу следует закупать 5 пирожных в день.

2. Правило максимина – осторожная стратегия, выбор наилучшего из наихудших вариантов.

Таблица 21

Минимальные доходы (ден.ед)

Кол-во закупаемых пирожных в день	Минимальная прибыль
1	0,6
2	0,2
3	-0,2
4	-0,6
5	-1

По этому правилу следует закупать 1 пирожное в день.

3. Правило минимакса – минимизация максимально возможных потерь, в данном случае большее внимание уделяется потерям в результате неправильного решения, чем доходам.

Таблица 22

Возможные потери (ден.ед)

Спрос на пирожные в день (исходы)	Число зак-х пирожных в день (возм. решения)
	1	2	3	4	5
1	0	0,4	0,8	1,2	1,6
2	0,6	0	0,4	0,8	1,2
3	1,2	0,6	0	0,4	0,8
4	1,8	1,2	0,6	0	0,4
5	2,4	1,8	1,2	0,6	0

Для каждого решения из данной таблицы выбираем максимально возможные потери, затем выбираем то решение, которое приведет к минимальному из максимальных потерь.

Таблица 23

Максимально возможные потери (ден.ед)

Кол-во закупаемых пирожных в день	Максимально возм-е потери в день
1	2,4
2	1,8
3	1,2
4	1,2
5	1,6

Согласно данному правилу, следует заказывать 3 или 4 пирожных.

Все рассмотренные критерии принятия решения приводят к различным результатам и нельзя однозначно сказать, какой из них лучше, все зависит от цели принятия решения и отношения ЛПР к риску. При использовании критерия Гурвица (компромисс между осторожным правилом максимина и оптимистичным правилом максимакса) ЛПР определяет веса или вероятности для каждого из критериев.

Таблица 24

Критерий Гурвица

Кол-во закупае- мых в день пирожных	Доход в день		Вес		Всего в день
	максимин	максимакс	0,4	0,6
1	0,6	0,6	0,24	0,36	0,6
2	0,2	1,2	0,08	0,72	0,8
3	-0,2	1,8	-0,08	1,08	1
4	-0,6	2,4	-0,24	1,44	1,2
5	-1	3	-0,4	1,8	1,4