3 Сравнение двух случайных выборок (нахождение оценок параметров распределения, проверка статистических гипотез)

3.1 Теоретическое введение

3.1.1 Точечные оценки параметров распределенияРаспределение случайной величиныХхарактеризуется рядомпараметров(математическое ожидание, дисперсия и т.д.). Эти параметры называютпараметрами генеральной совокупности. Важной задачей математической статистики является нахождение по случайной выборке приближенных значений каждого из параметров, называемыхточечными оценками параметров, или простооценками. Таким образом,оценкой параметра β называется функцияf(X₁,X₂, ... ,X_n) от случайной выборки, значение которой принимается в качестве приближенного для данного параметра и обозначается:

β ≈ =f(X1,X2, ... ,Xn).

(3.1)

Пусть задана повторная случайная выборка X₁,X₂, ... ,X_n. За оценку математического ожидания aпринимается среднее арифметическое элементов выборки:

(3.2)

Оценкой дисперсииσ²принеизвестном математическом ожиданииявляется величинаS², которую называютэмпирической дисперсией:

(3.3)

Оценкой среднего квадратического отклоненияσ при этом является, соответственно, величина

(3.4)

Для практических расчетов формулу (3.3) целесообразно преобразовать к следующему виду:

(3.5)

Вычисление среднего значения и оценки дисперсииS²упрощается, если отсчет значенийX_iвести от подходящим образом выбранного начала отсчетаСи в подходящем масштабе, т.е. сделать линейную замену (кодирование):

Xi = C + hUi(i= 1, 2, ... ,n).

(3.6)

При такой замене формулы (3.2), (3.3), (3.4) принимают следующий вид:

(3.7)

(3.8)

Для контроля правильности вычислений весь расчет следует повторить при другом начале отсчета С: результаты должны совпадать с точностью до величины возможных ошибок округления.

3.1.2 Доверительные интервалы параметров нормального распределенияДоверительным интерваломпараметра β называется интервал со случайными границами (– ε₁;+ ε₂), который накрывает истинное значение параметра β с заданной вероятностьюP, которая называетсядоверительной вероятностью. Величина α = 1 –Pназываетсяуровнем значимости. При этом обычно требуют, чтобы вероятности выхода за границы доверительного интервала в обе стороны были равны между собой, а именно:P(β <– ε₁) =P(β >+ ε₂) = (1 –P)/2 = α/2. Это дополнительное требование обеспечивает единственность решения задачи. Пусть задана повторная случайная выборкаX₁,X₂, ...,X_nиз нормальной генеральной совокупности. Это означает, что результаты эксперимента независимы и подчиняются нормальному закону распределения с одинаковыми параметрамиX_i ~ N(a; σ). С вероятностьюPматематическое ожидание принадлежит интервалу

aє (– ε,+ ε);

(3.9)

(3.10)

где – оценка математического ожидания (3.2);– оценка среднего квадратического отклонения σ (3.4);t_1–α/2(k) – квантиль распределения Стьюдента сkстепенями свободы;n– объем выборки;k– число степеней свободы при вычислении оценкиS. Часто доверительный интервал для математического ожидания записывают символически:

α=± ε.

(3.11)

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ при доверительной вероятности P= 1 – α имеет следующий вид:

(3.12)

где S– оценка среднего квадратического отклонения σ (1.6) при неизвестном математическом ожидании; χ_P²(k) – квантиль распределения Пирсона сkстепенями свободы;k– число степеней свободы оценкиS.

3.1.3 Проверка статистических гипотезПустьХ– наблюдаемая случайная величина.Статистической гипотезой Нназывается предположение относительно параметров или вида распределения случайной величиныХ. Проверяемая гипотеза называетсянуль-гипотезойи обозначаетсяН₀. При постановке нуль-гипотезы сразу ставитсяальтернативная гипотеза Н₁, т.е. то предположение, которое следует принять, если нуль-гипотеза будет отвергнута. Правило, позволяющее принять или отвергнуть гипотезуН₀– некоторая функция результатов экспериментаQ(X₁,X₂, ... ,X_n),распределение которой вполне определено при условии истинности гипотезы Н₀. Пусть заданы две независимые выборки из двух нормальных генеральных совокупностей. Первая выборка имеет объемn₁, элементы выборкиХ_i⁽¹⁾~ N(a₁; σ₁); вторая – объем n₂, элементы выборкиХ_i⁽²⁾~ N(a₂; σ₂). Необходимо проверитьгипотезу о равенстве дисперсийэтих двух генеральных совокупностей, т.е.Н₀: σ₁²= σ₂². Математические ожиданияa₁иa₂неизвестны. В этом случае по каждой выборке находят несмещенные оценки дисперсийS₁²иS₂²с числами степеней свободыk₁=n₁– 1 иk₂=n₂– 1 соответственно. Гипотезу проверяют по критерию Фишера, функция критерия

F = S12/S22

(3.13)

имеет F-распределение Фишера сk₁иk₂степенями свободы, т.е.F=F(k₁,k₂). Если альтернативная гипотезаН₁: σ₁²≠ σ₂², то критерий Фишера рассчитывается как отношение большей по величине оценки дисперсии к меньшей:

F = (Sбол)2/(Sмен)2> 1.

(3.14)

Гипотеза принимается при выполнении неравенства

F < F1–α/2(kSбол,kSмен),

(3.15)

в противоположном случае гипотеза отвергается. Здесь k_Sбол– число степеней свободы большей оценки дисперсии;k_Sмен– число степеней свободы меньшей оценки дисперсии. Если гипотеза о равенстве дисперсий принимается, то за оценку общей σ может быть взята, полученная по формуле для сводной оценки дисперсии:

(3.16)

где S₁²,S₂²– несмещенные оценки дисперсии первой и второй выборок соответственно. Пусть заданы две независимые выборки из двух нормальных генеральных совокупностей. Первая выборка имеет объемn₁, элементы выборкиХ_i⁽¹⁾~ N(a₁; σ₁); вторая – объемn₂, элементы выборкиХ_i⁽²⁾~ N(a₂;σ₂). Математические ожиданияa₁иa₂неизвестны. Проверяемгипотезу о равенстве математических ожиданийэтих двух генеральных совокупностей, т.е.Н₀:a₁=a₂. По каждой выборке находим оценки математических ожиданий₁и₂. При этом дисперсии σ₁²и σ₂²неизвестны, но гипотеза о равенстве дисперсий принимается;S₁²иS₂²– несмещенные оценки дисперсий первой и второй выборок. Находим сводную оценку дисперсии (3.16). Гипотеза проверяется по критерию Стьюдента, функция критерия

(3.17)

имеет t-распределение Стьюдента сk_CBстепенями свободы, т.е.t=t(k_CB); ­ ­k_CB=k₁+k₂– число степеней свободы при вычислении оценки. При альтернативной гипотезеН₁:а₁≠а₂, гипотеза принимается при выполнении неравенства

|t| <t1–α/2(kCB),

(3.18)

в противоположном случае гипотеза отвергается. Если гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается, то за оценку общего математического ожидания может быть взята сводная оценка математического ожидания, которая определяется как средняя по обеим выборкам:

.

(3.19)

Доверительный интервал для математического ожидания при этом можно пересчитать, заменив в формулах (3.10) – (3.11) на_CB;SнаS_CB;kнаk_CB=k₁+k₂,nнаn₁+n₂.

3.1.4 Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупностиЕсли распределение случайной величиныХне известно, можно рассмотреть гипотезу о том, чтоХимеет функцию распределенияF(x). Критерии значимости для проверки таких гипотез называютсякритериями согласия. ПустьX₁,X₂, ... ,X_n– выборка наблюдений случайной величиныХ. Проверяется гипотезаН₀, утверждающая, чтоХимеет функцию распределенияF(x). Проверку гипотезыН₀при помощи критерия χ²проводят следующим образом. По выборке находят оценки неизвестных параметров предполагаемого закона распределения случайной величиныХ. Область возможных значений случайной величиныХразбивают наlинтервалов. Подсчитывают числаn_iпопаданий результатов экспериментов в каждыйi-й интервал. Используя предполагаемый закон распределения случайной величиныХ, находят вероятностир_iтого, что значениеХпринадлежитi-му интервалу. Затем сравнивают полученные частотыn_i /nс вероятностямир_i. Критерий согласия Пирсона требует принятия гипотезы о пригодности проверяемого распределения с уровнем значимости α, если значениевзвешенной суммы квадратов отклонений

.

(3.20)

меньше квантиля распределения χ²-распределения сk = l– 1 степенями свободы, т.е. χ²< (χ_1–α)²(k), в противоположном случае эта гипотеза отвергается, как противоречащая результатам эксперимента. Если при этом некоторые параметры распределения оценивают по результатам той же выборки, то квантиль χ²-распределения следует брать дляk = l– 1 –mстепеней свободы, гдеm– число оцениваемых параметров.

3.1.5 Построение гистограммы (эмпирической функции распределения)Для наглядного представления о выборке часто используют график, называемыйгистограммой. Для построения гистограммы интервал, содержащий все элементы выборки, разбивают наlнепересекающихся интервалов (как правило, равной длины). Подсчитывают числаn_iпопаданий результатов экспериментов в каждыйi-й интервал и строят столбиковую диаграмму, откладывая по оси ординат значения средней плотностиn_i/(nh_i), гдеh_i– длинаi-го интервала. Площадь каждого столбика равнаn_i /n, что соответствует относительной частоте попадания элементов выборки вi-й интервал. Площадь под всей ступенчатой фигурой равна единице. При увеличении объема выборки и уменьшении интервалов группировки гистограмма приближается к функции плотности генеральной совокупности. Гистограмма является эмпирической функцией плотности, она дает приближенную функцию плотности генеральной совокупности (ее оценку) по случайной выборке.