Тема 4. Числовые последовательности. Общие сведения

 

Изучив эту тему студент должен

Знать:

1. Числовые последовательности и операции над ними.

2. Определения ограниченной и неограниченной последовательности, бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

3. Понятие сходящейся последовательности. Основные свойства сходящейся последовательности.

4. Последовательность . Число е.

Уметь:

• Находить предел последовательности

• Определять тип последовательности.

Краткое содержание

 

            Данная тема включает в себя понятия:

• числовая последовательность,

• предел последовательности,

• свойства последовательностей,

• число е, как предел последовательности.

 

 

Практикум

 

Выполнить задания № 725-733 из «Сборника задач по Высшей математике» МинорскогоВ.П.

4.1. Основные понятия о множествах, логическая символика.

 

4.1.1. Некоторые сведения о множествах.

Основные понятия.

 

Множество - есть исходное, начальное (а следовательно, и неопределяемое) понятие. Можно лишь сказать, что множество есть собрание объектов, при этом не будем уточнять, какие собрания объектов являются множествами. Объекты этого собрания называются элементами множества.

 

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если множество состоит из n элементов, то это обозначают следующим образом:

 

.

 

Часто приходится сталкиваться с другими, неконечными, или, как принято говорить, бесконечными множествами. Таковы, например, множества всех натуральных чисел, всех нечетных чисел и т.д.

 

К числу конечных множеств мы будем относить и пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Такое множество обозначим символом .

 

Если элемент x принадлежит множеству А, то пишут xA.

 

Запись , или xA означает, что x не есть элемент множества А.

 

Запись  (или ) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В или, другими словами, множество А есть подмножество множеств В (или множество А включено в множество В).

 

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: запись А=В.

 

Если А есть подмножество В, причем множество А не совпадает с множеством В, то пишут    или   .

 

Если множество А не принадлежит множеству В, то пишут

 

  , . Знаки   называются знаками включения.

 

разберем некоторые понятия математической логики. Прежде всего, что такое математическая логика?

 

Математическая логика- наука о законах логического вывода.

 

В математической логике под предложением понимают то же самое, что вкладывают в смысл этого термина в грамматике любого естественного языка.

 

Высказыванием называется предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Истинному высказыванию будем ставить в соответствие единицу, а ложному- логический ноль (1;0).

 

Пример: (10=15)=0 (высказывание “10 равно 15” ложно)

 

(5>-1)=1 (высказывание “5 больше -1” истинно).

 

Будем обозначать высказывания буквами какого-либо алфавита:

 

X, Y,L,.........; А, В ,......

 

Высказывательная форма- это выражение, содержащее одну или несколько переменных и становящееся высказыванием при подстановке чисел или элементов каких-либо множеств вместо своих переменных.

 

 

Основные операции алгебры логики.

 

При записи математических рассуждений будем использовать следующую экономную символику, описывающую различные алгебраические операции (операции алгебры логики).

 

1. Отрицание (негоция) : X; -“не X”. Отрицанием высказывания X называется или  X (“не X” или “неверно, что X”), которое означает высказывание, утверждающее, что X ложно.

Таблица истинности.

 

X
1 0	0 1

 

2. Коньюнкцией (логическим произведением) высказываний X, Y называется высказывание (“X и Y”), истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания, X и Y, истинны.

 

X	Y	XY
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 

3. Дизьюнкция (логическое сложение) высказываний X, Y- XY (“X или Y”) - высказывание истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний X и Y.

 

X	Y	XY
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

 

4. Импликация (логическое следствие) X  Y (“если X, то Y “ или “из X следует, что Y”) есть высказывание, ложное тогда и только тогда, когда X истинно, Y ложно. В остальных случаях X  Y истинно.

 

X  Y означает: X является достаточным условием для Y. Y является необходимым условием для X.

 

Таблица истинности.

 

X	Y	XY
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

 

5. Эквивалентность двух высказываний X и Y (“X тогда и только тогда, когда Y”) - есть высказывание X  Y, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания X и Yсразу истинны или ложны.

 

X  Y - “X” является необходимым и достаточным условием “Y”.

 

 

Таблица истинности.

 

X	Y	XY
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

Кванторы.

 

Иногда удобно представить некоторые словесные выражения посредством символов.

 

 - каково бы ни было, для любого (квантор всеобщности).

 

 - существует (квантор существования).

 

-для любого x выполняется предложение .

 

Символом “:” будем обозначать следующую группу слов: “такое, что”, “удовлетворяет условию”, выполняется”.

 

 

Отрицание высказываний, содержащих кванторы.

 

Отрицание под знаком  или  превращает его, соответственно, в знак  или  и переносится на свойство, стоящее после двоеточия.

Пример 1.

 

Пусть имеем высказывание: (x x   (для любого x из множества А имеет место неравенство x  ). Если высказываемое утверждение не имеет место, то следовательно, неравенство x   выполняется не для каждого x, значит существует элемент x, для которого неравенство x   не выполняется.

 

 

 

Пример 2.

 

Используя закон Моргана, построить отрицание предела функции f(x) в точке x=а.

 

Сформулируем определение предела функции f(x) в точке x=a по Коши с использованием введенной символики

 

.

 

Здесь на языке алгебры записано: вещественное число a называется пределом функции f(x) в точке x=a, если для любого вещественного положительного числа E найдется вещественное положительное число , что для всех значений аргумента x из области определения таких, что, если выполнены неравенства , будет следовать неравенство .

 

Операции над множествами.

 

Объединение АВ множеств А и В

 

Множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств, называется объединением множества А и В. Указанное определение легко распространяется на случай трех и более множеств

 

АВ заштриховано на диаграмме.

 

Пример 1.

 

А1,2,3,4,5,

В1,2,          

АВ=1,2,3,4,5.        

 

Множество АВ по определению не содержит неразличимых элементов и, следовательно, элементы 1 и2, входящие в множества А и В, входят в АВ один раз.

 

Пересечение АВ множеств А и В есть множество элементов, принадлежащих и А и В.

 

АВ заштриховано на диаграмме.

 

Пример 2.

 

А1,2,3,4,5; В1,2

АВ=1,2

 

Два множества А и В называются непересекающимися, если АВ=0.

 

Разность А\В множеств А и В

 

Разностью множеств А и В называется совокупность тех элементов А, которые не содержатся в В.

 

А\В заштриховано на диаграмме.

Пример 3.

 

А=1,2,3,4,5, В=1,2

А\В=3,4,5.

 

 

Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств.

 

Если каждому элементу множества А сопоставлен единственный элемент множества В и при этом всякий элемент множества В сопоставляется одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

 

Множества, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными. Это записывается следующим образом : А~В. Eсли два множества эквивалентны, то говорят, что они равномощны, или имеют одну и ту же мощность.