2.4.2. Полярное уравнение кривой второго порядка.

 

Пользуясь общим свойством эллипсов, гипербол и парабол, выведем общее уравнение этих кривых второго порядка в полярных координатах при некотором специальном выборе полярной системы координат.

 

Пусть дана произвольная из указанных линий (эллипс, ветвь гиперболы или парабола). Возьмем фокус F кривой (любой, если их два) и соответствующую ему директрису L (если рассматривается ветвь гиперболы, то берется фокус и директриса, ближайшие к этой ветви).

 

Введем полярную систему координат так, чтобы полюс О совпал с фокусом F, а полярная ось была направлена по оси симметрии кривой в сторону, противоположную директрисе L.

 

Возьмем на кривой произвольную точку М(;), соединим ее отрезком FM с фокусом и опустим перпендикуляр МК на директрису. Кроме того, из точки F проведем перпендикуляр FR к полярной оси до пересечения с кривой в точке R, а из точки R опустим перпендикуляр RQ на директрису (Рис. 12).

 

Обозначим FR через p и будем называть это число фокальным параметром. На основании общего свойства кривых второго порядка По тем же соображениям: или , откуда .

Подставим найденные выражения для FM и КМ в равенство , получим:

 

(3)

 

Уравнение (3) называется уравнением кривой второго порядка в полярных координатах. При <1 кривая является эллипсом, при >1 - ветвью гипиерболы, при =1 - параболой.

Фокальный параметр Р из уравнения параболы определяется непосредственно. Для того, чтобы фокальный параметр выразить через параметры эллипса и гиперболы, следует заметить, что фокальный параметр Р является ординатой точки кривой, абсцисса которой равна абсциссе соответствующего фокуса (в выбранной при выведении канонического уравнения соответствующей кривой системе ХОY).

Подставляя вместо координат точки М(х;у) в уравнение эллипса координаты точки (-с;р), получим:

 

или ,

 

откуда следует

 

.

 

Аналогично, подставляя в уравнение гиперболы координаты точки (с;р), получим:

 

или ,

 

откуда следует соотношение

 

.

 

Рассмотрим несколько задач на кривые второго порядка.

Задача 1.

Дано уравнение гиперболы 16х²-9у²=144. Найти длины ее осей, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения директрис и асимптот гиперболы.

Решение.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду и определим как параметры гиперболы, так и расстояние с от начала координат до фокуса:

 

или ,

 

откуда а=3, b=4, , эксцентриситет =.

 

Действительная ось 2а=6; мнимая ось 2b=8.

 

Уравнения директрис: .

Уравнения асимптот: .

Задача 2.

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, зная, что он проходит через точки М₁(2;3) и М₂.

 

Решение.

Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, его каноническое уравнение будет иметь вид: и вместо текущих координат подставим в это уравнение сначала координаты точки М₁, а затем координаты точки М₂. Из получившейся системы уравнений:

определим параметры эллипса а и b.

Обозначив

 

, ,

 

получим следующую систему уравнений:

 

.

 

Решая ее, получим, что:

 

,

 

откуда а²=16, b²=12.

Следовательно, искомое уравнение эллипса будет:

 

.

Задача 3.

Найти вершину, фокус, ось и директрису параболы

у = -2х² +16х-29.

Решение.

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

 

Отсюда .

 

Обозначив х`= х-4 и у`= у-3, перейдем к новой системе координат O`x`y`, начало которой находится в точке O`(4;3), а оси O`x` и O`y` сонаправлены с осями Ох и Оу. В результате получим простейшее уравнение данной параболы

 

’.

Отсюда , то есть . Итак, вершина параболы находится в точке O`(4;3); координаты фокуса

 

x_F = x_O` = 4; ,

 

то есть F; уравнение оси параболы x = x_O` = 4, то есть х-4=0; уравнение директрисы , то есть 8y-25=0.

Задача 4.

 

Уравнение эллипса привести в полярной системе координат к уравнению вида

 

.

Решение:

 

Найдем из данного уравнения параметры a, b, c, затем найдем эксцентриситет и фокальный параметр эллипса :

а²=4, b²=3, c²=1, , .

 

Искомое уравнение будет иметь вид:

 

или .

Задача 5.

Дано уравнение кривой в полярных координатах

 

.

 

Привести его к каноническому уравнению в прямоугольных координатах.

Решение.

В данном уравнении , . Так как эксцентриситет >1, то данное уравнение является уравнением гиперболы, у которой b²=c²-a². Таким образом, данные параметры могут быть записаны в виде системы двух уравнений

 

Из этой системы находим, что а=1, с=3, b²=8. Следовательно, уравнение гиперболы имеет вид:

 

.