Колледж ландшафтного дизайна № 18

Основы высшей математики.

( Учебное пособие для студентов 2-го курса СПО)

1. Аналитическая геометрия.

Основные понятия и свойства:

Определение 1: Отрезок с граничными точками А и В называется направленным, если указано, какая из точек А и В считается началом, а какая концом отрезка.

Определение 2: Величиной АВ направленного отрезка называется вещественное число, равное длине отрезка, если направления отрезка и оси совпадают, и равное числу противоположному длине, если эти направления противоположны.

Основное тождество: Для любых точек А, В, С на оси справедливо равенство: АВ + ВС = АС.

Определение 3: М – произвольная точка на координатной прямой. Координатой точки М называется вещественное число х, поставленное в соответствие точке М, равное величине ОМ направленного отрезка.

Теорема 1(величина направленного отрезка): Для любых точек М1 (х1) и М2 (х2) на координатной прямой всегда справедливо равенство М1М2 = х2 – х1.

Определение 4: М – произвольная точка в прямоугольной системе координат.

Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков – проекций точки на соответствующую координатную прямую.

Теорема 2 (расстояние между точками): Для любых точек М1(х1;у1) и М2(х2;у2) всегда справедливо равенство:

d = (х2 – х1)² + (у2 – у1)²

Теорема 3 (площадь треугольника): Треугольник АВС задан координатами его вершин: А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3). Площадь треугольника находим по формуле:

S = ½ ( (x2 –x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y2 – y1) ).

Теорема 4 (деление отрезка в данном отношении): Точка М(х;у) делит отрезок М1М2 в отношении л. Координаты точки М определяются по формуле:

Х1 + лХ2 У1 + лУ2

Х = 1 + л У = 1 + л

-1-

Определение 5: М - произвольная точка в полярной системе координат. Полярными координатами точки называется упорядоченная пара чисел (р;а), где

р (полярный радиус) – расстояние от точки до полюса, а (полярный угол) – угол между полярной осью и лучем ОМ (О – полюс).

Формулы перехода от одной системы координат к другой:

p = x² + y² x = p cosa

tg a = y/x y = p sina .

Виды уравнений прямой:

Каноническое уравнение : Ах + Ву + С = 0;

Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом : у = кх + в;

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющий данный угловой коэффициент: у – у1 = к ( х – х1);

У равнение прямой, проходящей через две данные точки: у – у1 х – х1

у2 –у1 = х2 - х1

Уравнение прямой в отрезках: х/а + у/в = 1.

Взаимное расположение прямых: k2 – k1

Угол между двумя прямыми: tga = 1 + k1k2

П рямые параллельны k1 = k2;

П рямые перпендикулярны k2 = -1/k1.

Теорема 5(расстояние от точки до прямой): Точка плоскости М(х0;у0) удалена от прямой Ах + Ву + С = 0 на расстояние d. Тогда Ах0 + Ву0 + С

d =

А² + В²

Определение 6: Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса: Х²/А² + У²/В² = 1.

Определение 7: Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы: Х²/А² - У² /В² = 1.

Определение 8: Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы: У² = 2рХ ( Х² = 2рУ ).

-2-

ЗАДАЧИ:

1. Даны точки А(-5), В(4), С(-2). Найдите величины АВ, ВС, АС соответствующих направленных отрезков.

2. Найдите величину АВ и длину /АВ/ соответствующего направленного отрезка, заданного следующими точками:

а) А(3), В(11) в) А(-5), В(-3)

б) А(-1), В(3) г) А(1), В(-3)

3. Даны точки А(0;0), В(3;-4), С(-3;4). Найдите расстояние между точками

а) А и В; б) В и С; в) А и С.

4. На оси абсцисс найти точку, которая находится на расстоянии 5 единиц от точки М(1;3).

5. Вычислите площадь и периметр треугольника, вершинами которого являются точки:

а) А(2;-3), В(3;2), С(-2;5); б) М(3;-4), N(-2;3), Р(4;5).

6. Площадь треугольника равна 3, две его вершины – точки А(3;1) и В(1;-3). Найдите координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси ординат.

7. Найдите ординату точки С, если известно, что площадь треугольника АВС равна 15 кв.ед. Координаты вершин треугольника А(-2;1), В(2;2), С(4;у).

8. Точка К делит отрезок МN в отношении |MK|: |KN| = 2 : 3. Найти координаты точки К, если М(7;4), N(-3;9).

9. Отрезок, ограниченный точками А(1;-3) и В(4;3) разделен на три равные части. Определите координаты точек деления.

10. Найдите длины медиан треугольника АВС, если А(2;-1), В(-2;-3), С(2;5).

11. Точка В делит отрезок АС в отношении 6 : 3. Найдите координаты точки С, если А(2;-3) и В(-4;1).

12. Началом отрезка служит точка А(-3;-5), а серединой – точка С(3;2). Найти координаты конца отрезка, точки В.

13. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС, если

А(-2;1), В(2;-1), С(4;3).

14. Построить точки, заданные полярными координатами:

А(2; П/2), В(3; П/4), С(3; 3П/4), D(4;0), F(2; 3П/2), Р(3;П).

15. В прямоугольной системе координат даны точки М(0;5), Р(-3;0), К(-1;1),

Т(2:-3). Найдите их полярные координаты.

16. В полярной системе координат даны точки А(8; П/2), В(4; -П/4), С ( 2; П/6). Найдите их прямоугольные координаты.

17. Прямая задана общим уравнением. Написать ее уравнение с угловым коэффициентом:

а) 2х – 3у + 5 = 0; б) 3х + 5у – 1 = 0; в) 12х -5у -65 =0

18. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок в=3 и образующей с осью Ох угол а=П/6.

19. Построить прямую, заданную уравнением:

а) у = ¾ х + 2; в) у = -3/7 х – 5;

б) у = 5/2 х - 4; г) у = -2 х + 3.

20. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2;1) и образующей с осью Ох угол а = П/4.

21. Составить уравнения прямых, заданных двумя точками:

а)А(1;3), В(4;1); б) С(-1;5), D(3;-7); в) М(-3;0), N(0;5).

-3-

22. Составить уравнения медиан треугольника АВС, где А(7;0), В(3;6), С(-1;1).

23. Дан треугольник с вершинами А(-2;0), В((2;4), С(4;0). Составить уравнения стороны ВС, медианы АЕ, высоты АD.

24. Привести уравнения к виду уравнения прямой «в отрезках» и построить прямые: а) 2х + 5у +20 = 0; в) 6х + у -3 = 0;

б) 3х – 4у – 12 = 0; г) х – 8у + 4 = 0.

25. Определить взаимное расположение прямых:

а) 5х – у +4 = 0 и 10х – 2у + 1 = 0 ; г) 2х – у + 1 = 0 и х – 2у + 1 = 0 ;

б) 3х + 2у + 3 = 0 и 3х – 2у – 1 = 0 ; д) 5х – у + 4 = 0 и х + 5у – 1 = 0;

в) 5х – 3у + 1 = 0 и 15х + 9у – 7 = 0; е) 3х + 2у +17 = 0 и 2х – 3у + 8 = 0.

26. Найти угол между прямыми:

а) у = 2х – 3 и у = х/2 + 1;

б) 5х –у + 7 = 0 и 2х – 3у + 1 = 0 ;

в) 2х + у = 0 и у = 3х – 4.

27. Найти углы треугольника, заданного вершинами А(-6;-3), В(6;7), С(2;-1).

28. Найти угол между прямыми, если одна из них проходит через точки А(4;2) и В(1;-7), а вторая – через точки М(-1;3) и Т(8;6).

29. Составьте уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(6;2) на прямую х – 4у - 7 = 0.

30. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(-4;3) и параллельной прямой х + 2у +3 = 0.

31. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной прямой 3х – 5у + 2 = 0.

32. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2;3) и параллельной прямой 4х + 3у – 12 = 0.

33. Составить уравнение перпендикуляра к отрезку МР, где М(7;3) и Р(-3;2), проходящего через его середину.

34. Найдите расстояние от точек А(4;3), В(2;1), С(4;0), О(0;0) до прямой

3х + 4у – 10 = 0.

35. Покажите, что прямые 2х – 3у – 6 = 0 и 4х - 6у – 25 = 0 параллельны и найдите расстояние между ними.

36. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

4х + 3у = 7 и 3х + 2у = 5 и составляющей тот же угол с осью Ох, что и прямая

2х + у = 5.

37. Найдите длину высоты СК треугольника с вершинами А(-1;3), В(4;-2), С(0:1), составьте ее уравнение. Какой угол образует высота СК со стороной СА?

38. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2;4) и удаленной от начала координат на расстояние d = 2.

39. Приведите данное уравнение к каноническому виду, найдите координаты фокусов, длины осей и изобразите кривую:

а) 3х²+ 16у² = 192; в) 16 х² – 25 у² = 400; г) 16х²– 9у²= 144;

б) 3х² – 4у² =12 ; г) 2х²+ у² = 32; д) 9х² + 25у² = 225.

40. Составьте уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между ее вершинами равно 16 и фокусы ее находятся в точках (-10;0), (10;0).

41. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая ось 2в = 6, а расстояние между фокусами | F1F2| равно 8.

-4-

2. Линейная алгебра.

Основные понятия и свойства:

Определение 1: Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.

Определение 2: Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.

Определение 3: Суммой матриц А и В называется такая матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Определение 4: Произведением матрицы А на число к называется такая матрица каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на число к.

Определение 5: Произведением двух матриц А и В называется такая матрица, каждый элемент aij которой находится следующим образом: каждый элемент строки i умножается на соответствующий элемент столбца j и полученные произведения складываются.

Свойства арифметических действий над матрицами:

1 ) А + В = В + А 5) АВ = ВА

2) (А + В) + С = А + (В + С) 6) А(ВС) = (АВ)С

3) А + 0 + А

4)А + (- А) + 0 7) (А+В)С = АС + ВС

Определение 6: Пусть дана квадратная матрица второго порядка а11 а12

Определителем (или детерминантом) а21 а22

второго порядка, соответствующим данной матрице называется число:

D = а11а22 – а12а21.

Определение 7: Пусть дана квадратная матрица а11 а12 а13

третьего порядка: А = а21 а22 а23

а31 а32 а33

Определителем (или детерминантом ) третьего порядка называется число:

Det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a13a22a31 – a23a32a11 – a12a21a33.

Основные свойства определителей:

1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать).

2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный.

3) Общий множитель строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

4) Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцам (или пропорциональными) равен нулю.

-5-

5) Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

Определение 8: Минором Мij соответствующего элемента определителя называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Определение 9: Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1) в степени (i + j), где i и j – номера строки и столбца на пересечении которых стоит данный элемент.

i+j

Аij = (-1) Мij.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца:

Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю.

D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin

Теорема Крамера:

Система п уравнений с п неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободнах членов.

-1

Алгоритм вычисления обратных матриц 2-го и 3-го порядков (А ):

1. Найти определитель матрицы А.

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записать новую матрицу.

3. Транспонировать новую матрицу.

4. Умножить полученную матрицу на 1/D.

Алгоритм решения простейших матричных уравнений АХ = В:

-1

Х = А В

1. Найти матрицу, обратную матрице А.

2. Найти произведение обратной матрицы на матрицу – столбец свободных членов В.

3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Задачи аналитической геометрии, решаемые методами линейной алгебры:

1. Уравнение прямой, проходящей через две точи (Х1;У1), (Х2;У2):

Х У 1

Х1 У1 1 = 0

Х2 У2 1

-6-

2. Площадь треугольника с вершинами в точках А(Х1; У1), В(Х2;У), С(Х3;У3).

X1 У1 1

SABC = Х2 У2 1

Х3 У3 1

3. Условие принадлежности трех точек (Х1;У1), (Х2;У2), (Х3;У3) одной прямой:

X1 У1 1

Х2 У2 1 = 0

Х3 У3 1

4. Условие пересечения трех прямых А1х + В1у + С1 = 0, А2х + В2у + С2 = 0,

А3х + В3у + С3 = 0 в одной точке:

А1 В1 С1

А2 В2 С2 = 0

А3 В3 С3

5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (Х1;У1;Z1), (Х2;У2;Z2),

(Х3;У3;Z3) :

X - X1 Y - У1 Z - Z1

Х2 – X1 У2 - Y1 Z2 – Z1 = 0

Х3 – X1 У3 – Y1 Z3 – Z1

ЗАДАЧИ:

1. Сложить матрицы А и В, если:

а ) 2 4 -1 3 в) 2 -1 4 1

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

А = - 1 3 В = 1 -4 А = 3 0 В = -3 -1

5 8 2 3

б ) 3 1 0 4 2 -3

А = 2 -7 4 В = 5 7 0 г) А = 1 0 3 2 -1

6 5 2 0 0 1 2 4 8 В = 3 5

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0 -8

2. Умножить матрицы из задачи 1 на числа 3; -2; - 1; 5.

3. Найти линейные комбинации матриц:

а) 3А – 2В б) 2А – В в) 2А + 3В – С

2 -4 0 4 -1 -2 1 -1 2

1) А = -1 5 1 В = 0 -3 5 С = 3 -4 2

0 3 7 2 0 -4 -2 1 5

6 -4 0 -1 2 5 -1

2) А = 3 -2 В = -2 5 С = 4 -2 8

-1 5 4 0

- 7-

4. Найдите произведение матриц А и В, если:

-1 2

а ) А = 3 -1 В = 1 1 б) А = 3 2 1 В = 2 0

1 1 3 1 0 1 2 -3 1

0 -1 2 3 1

в ) А = 2 1 1 В = 2 1

3 0 1 1 0

3 7 1

5. Вычислить С = А² + 2В, где А = 2 -1 В = -7 4

0 3 5 -3

-1 2

6. Найти 3А* 2В, если В = 2 0 А = 2 -1 0

-3 1 3 2 1

7. Вычислите определители матриц:

а) -1 4 г) 1 2 3 е) 2 3 -4

5 2 4 5 6 5 6 7

7 8 9 8 0 3

б ) 3 -1

4 -5 д) 3 2 1 ж) 5 0 0

2 5 3 3 2 0

в ) 2 0 3 4 3 0 7 -1

1 -3

8. Решить системы уравнений методом Крамера:

а ) 3х – 2у = 5, д) 5х + 3у = 7,

6х - 4 у = 11; 10х – 6у = 2;

б ) 5х + 3у = 12, е) 2х – 3у + z = -7,

2х - у = 7; x + 4y + 2z = -1,

x – 4y = -5;

в) 2х + 3у = 7,

4х – 5у = 2; ж) 2x – 7y + z = -4,

3x + y – z = 17,

г ) 2х + 5у = 3, x – y + 3z = 3.

4х + 10 у = 6;

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

а) (2;-3), (4;1) б) (-5;-1), (2;3) в) (8;-2), (-4; 1) г) (0; -2), (3;5).

10. Вычислить площадь треугольника, заданного координатами вершин:

а) (1;1), (6;4), (8;2) б) (2;-1), (-5;0), (-1;2).

11. Выясните, принадлежат ли точки одной прямой:

а) (2;1), (-1;0), (5;2) б) (1;2), (0;0), (-2;-1) г) (2;-1), (1;2), (3;2).

-8-

12. Выясните, пересекаются ли прямые в одной точке:

а) 2х – 5у – 1 = 0, х – у = 0, х + у – 1 = 0;

б) х – 2у – 4 = 0, х + у – 1 = 0, у + 1 = 0.

13. При каком значении неизвестной точки лежат на одной прямой:

а) (2;у), (3;1), (-2;4); б) (-1;1), (3;7), (х;0)?

14. При каком значении параметра прямые пересекаются в одной точке:

а) 2х – 3у -1 = 0, 2А – 3у -2 = 0, х – 2у = 0;

б) 5х – Ву – 4 = 0, -х + 5 = 0, х + у – 1 = 0;

в) х + 2у – 3 = 0, 2х + 2у + С = 0, у = 4.

г) х + у + С = 2, у = 1, х = -2?

15. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

а) (1;1;2), (4;-1;3), (1;-1; -2); б) (-1;-1;-1;), (2;3;1), (-1;2;2)

16. Найдите матрицу, обратную данной:

а ) 2 -1 б) 3 -4 в) 1 2 3

1 3 1 2 0 -1 2

3 0 7

17. Решите простей шее матричное уравнение:

а ) 1 2 7 б) -1 1 3

3 4 * Х = 17 2 0 * Х = -2

18. Решите систему уравнений матричным способом:

а) 3х1 – 5х2 = 13, б) 3х1 – 4х2 = -6,

2х1 + 7х2 = 81; 3х1 + 4х2 = 18.

-9-