-
Направление выпуклости функции.
ОПР1: Будем говорить, что график функции Y=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a, b).
ТЕОР1: Если функция Y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и f ’’(x) 0 (f ’’(x) 0)во всех точках (a, b), то график функции Y=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Док-во:
Докажем для f
’’(x)
0
для
x(a,
b).
Пусть X0
-
точка (a,
b).
Докажем, что график функции Y=f(x)
лежит
не ниже касательной, проходящей через
точку
M(X0,
f(X0)).
Уравнение касательной имеет вид
Y=f(X0)
+ f
’(X0)
(x
- X0),
где Y
– текущая
ордината касательной. Разложим функцию
Y=f(x)
в ряд
Тейлора для
n=1.
Получим y
=f(x)
=f(X0)
+ (f
’(X0)/1!)
(x
- X0)
+ (f
’’()/2!)
(x
- X0),
где (X0,
x).
Вычитая полученные равенства, имеем
y
– Y=(f
’’()/2!)
(x
- X0)
.
Так как f
’’()
0
по
условию, то
(f
’’()/2!)
(x
- X0)
0
для
x(a,
b)
y
– Y
0
y
Y
для
x(a,
b).
А это означает, что всюду на (a,
b)
график функции лежит не ниже касательной,
проведенной через точку
M(X0,
f(X0)).
-
Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба.
ОПР1: Точка M(X0, f(X0)) называется точкой перегиба графика функции Y=f(x), если в точке M график имеет касательную, и существует такая окрестность точки X0, в пределах которой график функции Y=f(x) слева и справа от точки X0 имеет разные направления выпуклости.
ТЕОР1: Пусть график функции Y=f(x) имеет перегиб в точке M(X0, f(X0)) и пусть функция Y=f(x) имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f ’’(x) в точке обращается в 0, т. е. f ’’(x)=0.
Док-во: ПП: что f ’’(X0) 0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки X0, в которой f ’’(X0) < 0 (f ’’(X0) > 0), и значит (по Т о направлении выпуклости) график функции Y=f(x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(X0, f(X0)). Это и доказывает теорему.
-
Достаточное условие точки перегиба.
ТЕОР1: Пусть функция Y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки X0. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’’(X0) имеет разные знаки слева и справа от точки X0, то график Y=f(x) имеет перегиб в точке M(X0, f(X0)).
Док-во: Из того, что f ’’(X0) слева и справа от точки X0, имеет разные знаки, на основании теоремы о направлении выпуклости заключаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки X0 являются различными. Это и означает наличие перегиба в точке M(X0, f(X0)).
ЗАМ: теорема верна, если функция имеет II производную в окрестности точки за исключением самой точки и существует касательная к графику в этой точке.