Задача №3. Использование нечетких множеств, при условии существования критериев различной важности.

Условие.

Необходимо выбрать место для строительства химического комбината, исходя из следующих критериев:

С1 – близость к потребителю продукции;

С2 – близость к источнику сырья;

С3 – наличие в данном месте свободной рабочей силы.

Пусть имеются 4 альтернативы:

а1 – средняя полоса России;

а2 – Дальний Восток;

а3 – Подмосковье;

а4 - Заполярье.

Примечание:

- источник сырья большой мощности находится в Заполярье;

- источник небольшой мощности находится на Дальнем Востоке.

Решение.

Для решения задачи будем использовать программу Mathcad. Задав степень принадлежности альтернатив, получим следующий набор критериев:

С1={<0.5/a1>,<0.7/a2>,<0.3/a3>,<0.6/a4>};

С2={<0.5/a1>,<0.4/a2>,<0.8/a3>,<0.4/a4>};

С3={<0.2/a1>,<0.1/a2>,<0.6/a3>,<0.9/a4>}.

Матрица сравнения критериев будет выглядеть следующим образом:

	С1	С2	С3
С1	1	5	1/3
С2	1/5	1	1/9
С3	3	9	1

1. Из представленного набора критериев составим матрицу принадлежности альтернатив. Задаем нечеткое множество (принадлежность альтернатив) с помощью матрицы P, где 3 критерия (строки) и 4 альтернативы (столбцы), использую команду «Insert» → «Matrix». После вставки матрицы необходимо заполнить каждую ячейку конкретным числом.

2. Так как у нас заданы неравнозначные критерии, то для их сравнения, необходимо найти значения их важностей, а для этого надо найти компоненты собственного вектора матрицы (w_i)

2.1. Записываем матрицу сравнения критериев С1 размером 3*3 при помощи команды «Insert» → «Matrix», затем заполняем конкретными числами.

2.2. Для нахождения собственных значений матрицы С1 используем функцию eigenvals, которая возвращает вектора, чьи значения являются собственными значениями для матрицы С1. Для этого выбираем вкладку «Insert»→ «Function» и в диалоговом окне «Insert Function» находим функцию eigenvals. Вводим имя нужной матрицы (eigenvals (С1)) и знак «=», после чего программа автоматически выдает значения вектора.

2.3. Находим для матрицы C1 собственный вектор максимального собственного значения матрицы.

Для этого используем функцию eigenvec, которая возвращает собственный вектор, связанный с собственным значением матрицы С1.

Во вкладке «Insert»→ «Function» выбираем функцию: eigenvec. На место первого параметра вводим обозначение матрицы С1, а на место второго параметра вводим соответствующие этой матрице ее максимальное собственное значение вектора.

Формула для вычисления максимального собственного значения матрицы C1 max(C1^<0>) записывается с помощью инструментов вкладок «Calculator» и «Matrix».

2.4. Находим значения важностей по формуле a_i = w_i*n, где n – число критериев, n=3; w_i – компоненты собственного вектора.

Значения важности для каждого критерия вычисляются по формуле, которая записывается с помощью инструментов вкладок «Calculator» и «Matrix».

3. Критерии в данной задаче не равнозначны, поэтому необходимо каждую степень принадлежности альтернатив каждого критерия возвести в степень важности этого критерия. Т.е. каждую альтернативу по критерию С1 матрицы Р надо возвести в степень а1, по критерию С2 в степень а2, по критерию С3 в степень а3.

Используя инструменты вкладок «Calculator», «Matrix», «Programming» составим формулу для подсчета матрицы Pn.

3.1. Используем во вкладке «Programming» цикл for (по i от 0 до 2) и add line, чтобы добавить вертикальную линию.

3.2. В первой строчке записываем цикл for по j от 0 до 3, проходя тем самым по каждой альтернативе.

Во второй - саму операцию возведения в степень.

В третьей - переменную, куда записывается сам результат.

В итоге получаем матрицу Pn:

4. Чтобы определить, какой критерий у каждой альтернативы наиболее слабо выражен, вычислим минимальное значения по каждому из столбцов матрицы Pn. Для этого используем инструменты вкладок «Calculator» и «Matrix».

5. Для нахождения подходящей альтернативы найдем столбец с максимальным значением из найденных, используя функцию max

Вывод.

Таким образом, наиболее подходящей альтернативой является а4, значит строительство химического комбината необходимо производить в Заполярье.

15