Указания
В зависимости от варианта задачи уравнение Пуассона следует записать в декартовой или цилиндрической системе координат.
В декартовой системе координат:
.
В цилиндрической системе координат:
,
где
- цилиндрические координаты точки.
При
рациональном выборе начала координат
и направлении координатных осей эти
уравнения в рассматриваемых задачах
существенно упрощаются. Например, если
в цилиндрическом конденсаторе ось
направлена вдоль оси конденсатора, то
с учетом допущения имеем:
;
.
Уравнение Пуассона в цилиндрических координатах принимает вид
.
Интегрирование такого уравнения не представляет затруднений.
Постоянные интегрирования определяются из заданных граничных условий.
Пример
1. Дан плоский
конденсатор с равномерно распределенным
объемным зарядом
между обкладками. Расстояние между
обкладками равно
(рис. 1.2). Конденсатор замкнут накоротко.
Пренебрегая краевым эффектом, найти потенциал и напряженность в точках, лежащих между обкладками.
|
|
|
Рис. 1.2 |
Расположим оси координат, как показано на рис. 1.2. Уравнение Пуассона в декартовой системе координат примет вид
.
Интегрируя это уравнение, находим
.
Здесь
и
- постоянные интегрирования, определяемые
из граничных условий.
Так как конденсатор замкнут накоротко, потенциал левой и правой обкладок одинаков. Можно положить их равными нулю. При этом граничные условия формулируются в виде соотношений
;
.
Используя их, получаем
;
.
Таким
образом, потенциал точки с координатой
.
Напряженность
находим, учитывая, что в рассматриваемой
задаче при указанном расположении
координатных осей
;
.
Таким образом,
.
Задача 2
Даны два бесконечно длинных параллельных цилиндра кругового сечения, один вне другого (рис. 2.1).
Рис. 2.1
Радиусы
цилиндров
и
,
расстояние между осями цилиндров
.
Напряжение между цилиндрами
.
Большой цилиндр заряжен положительно,
меньший – отрицательно.
Таблица 2.1
|
№ индивидуального варианта |
|
|
Группы |
|
|
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
|
|
|
2 |
8 |
3 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
4 |
5 |
|
3 |
8 |
3 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
5 |
4 |
|
4 |
8 |
3 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
4 |
8 |
|
5 |
8 |
3 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
5 |
8 |
|
6 |
7 |
2 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
5 |
6 |
|
7 |
7 |
2 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
6 |
4 |
|
8 |
7 |
2 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
4 |
6 |
|
9 |
7 |
2 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
6 |
6 |
|
10 |
7 |
2 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
5 |
6 |
|
11 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
3 |
4 |
|
12 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
4 |
8 |
|
13 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
5 |
4 |
|
14 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
4 |
6 |
|
15 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
5 |
8 |
|
16 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
3 |
8 |
|
17 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
6 |
4 |
|
18 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
4 |
6 |
|
19 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
6 |
6 |
|
20 |
6 |
2 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
5 |
6 |
|
21 |
6 |
1,5 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
3 |
4 |
|
22 |
6 |
1,5 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
4 |
8 |
|
23 |
6 |
1,5 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
5 |
4 |
|
24 |
6 |
1,5 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
4 |
6 |
|
25 |
6 |
1,5 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
5 |
8 |
Требуется:
-
Построить кривые распределения напряженности и потенциала поля вдоль прямых
,
.
-
Построить линии равного потенциала и силовые линии так, чтобы число интервалов между линиями равного потенциала было равно
, а число трубок потока -
.
-
Определить емкость цилиндров на 1 м длины. Исходные данные приведены в табл. 2.1