3. Элементы теории поля.

1. Дифференциальные операции.

   1. В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

.

2. Найти в точке градиент скалярного поля

.

3. Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

4. Найти в точке ротор векторного поля

.

2. Интегралы и интегральные теоремы.

   1. Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.

   2. Даны: поле и цилиндр D, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x²+y²=(n+1)². Найти:

а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

3. Даны поле и замкнутый виток , ( обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контура γ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.

3. Дифференциальные уравнения.

1. Уравнения первого порядка.

   1. Найти общее решение уравнения:

а) ; б) ; в) .

1. Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла миллионов рублей.

1. Линейные уравнения высших порядков.

   1. Решить задачу Коши:

;

3. Системы линейных уравнений.

   1. Решить систему линейных уравнений

с начальными условиями .

3. Ряды.

   1. Числовые ряды.

      1. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

а) ; б) .

2. Степенные ряды.

   1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б) .

2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х₀:

а) ; б) .

3. С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:

а) ; б) .

3. Ряды Фурье.

   1. Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:

а)

в интервале ;

б) в интервале .

в) в интервале .

3. Функции комплексного переменного.

   1. Действия с комплексными числами.

      1. Выполнить действия:

а) ; б) .

2. Решить уравнения:

а) ; б) .

2. Аналитические функции.

   1. Показать, что функция аналитична.

   2. Известна вещественная часть u(x,y)=m(x²-y²)+mx-ny аналитической функции f(z), (z=x+iy). Найти функцию f(z).

3. Интегрирование функций комплексного переменного.

   1. Вычислить , где контур С – незамкнутая ломанная, соединяющая точки , и .

   2. Вычислить с помощью интегральной формулы Коши

.