1. Побудова лінії в полярній системі координат. А) Короткі теоретичні відомості

У ряді випадків побудування ліній за рівнянням виду F(x;y)=0 у прямокутній декартовій системі координат досить проблематично, в той же час, побудова цієї лінії в полярній системі координат за даним рівнянням =f() значно полегшує задачу.

Для переходу від декартових координат до полярних використовується формула: y= sіn() , x=cos() (1) , де 0<2. При цьому декартова і полярна координат система розміщені так, що полярна ось співпадає з додатною частиною осі ОХ.

б) Порядок роботи:

1) Підставити значення х та у з формул (1) в дане рівняння лінії та знайти її рівняння у полярних координатах у виді =f().

2) Придаючи значення через проміжок, який дорівнює 15^о (/12 радіан) та обчислюючи відповідні значення  (за допомогою спеціальної таблиці або калькулятора), скласти таблицю відповідних значень  та . (При необхідності можна взяти інші значення  через проміжки менш 15^о

Обов’язково включити в таблицю ті значення , яким відповідає найменше значення .

Підрахунки необхідно округляти з точністю до 0,01, кінцеві приблизні значення округлити з точністю до 0,1.

3) За даними отриманої таблиці побудувати в полярній системі координат (залишаючи і декартову систему на малюнку) відповідні точки. З’єднуючи ці точки плавною кривою, побудувати лінію.

Задача 1.

За допомогою переходу від декартових координат до полярних побудувати лінію, задану рівнянням:

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

№10

№11

№12

№13

№14

№15

№16

№17

№18

№19

№20

№21

№22

№23

№24

№25

№26

№27

№28

№29

№30

Задача 2.

Задано прямі l₁ та l₂ і точка М.

Знайти:

1) кутовий коефіцієнт прямої l₁ і відрізок, який відтинає ця пряма на осі ординат;

2) рівняння прямих l₁ та l₂ у відрізках;

3) точку N перетину прямих l₁ і l₂;

4) рівняння прямої l₃, що проходить через точку М паралельно прямій l₂;

5) рівняння прямої l₄, що проходить через точку М перпендикулярно до прямої l₂;

6) відстань від точки М до прямої l₂: ρ (M, l₂).

Усі результати ілюструвати графічно.

Варіанти завдань

1. l₁: 5x+3y+8=0, l₂: x-4y+20=0; M (7, -2).

2. l₁: 3x+2y+2=0, l₂: 4x-3y+31=0; M (6, 0).

3. l₁: x-5y+9=0, l₂: 3x+2y+10=0; M (7, 3).

4. l₁: 5x+2y+13=0, l₂: 2x-5y+11=0; M (6, 4).

5. l₁: 4x+y+10=0, l₂: 3x+7y-5=0; M (5, -4).

6. l₁: 5x+2y+17=0, l₂: 2x-3y+3=0; M (5, 2).

7. l₁: 9x-5y+17=0, l₂: 4x+y+14=0; M (8, 4).

8. l₁: 3x-2y-16=0, l₂: x+7y+10=0; M (-10, 3).

9. l₁: 2x+3y-15=0, l₂: 3x-7y-11=0; M (-5, -4).

10. l₁: x-7y+8=0, l₂: 2x+5y-22=0; M (-4, -7).

11. l₁: 3x-8y+6=0, l₂: x+2y-12=0; M (-8, -3).

12. l₁: 2x-3y+17=0, l₂: 4x-y+9=0; M (6, -2).

13. l₁: 3x-y+10=0, l₂: 5x+2y=2=0; M (3, 10).

14. l₁: 11x+6y+9=0, l₂: 3x-y+16=0; M (5, -4).

15. l₁: 2x+3y-5=0, l₂: 3x+y-4=0; M (2, 3).

16. l₁: 3x-2y+7=0, l₂: 5x+y+3=0; M (1,4).

17. l₁: 2x-3y+5=0, l₂: 2x+5y-12=0; M (3, -4).

18. l₁: 4x-3y+5=0, l₂: x+4y-13=0; M (-2, -3).

19. l₁: 3x+y-7=0, l₂: 2x-3y-1=0; M (-5, -8).

20. l₁: 2x+5y-14=0, l₂: x-3y+4=0; M (-4, -4).

21. l₁: 5x-2y+12=0, l₂: 4x+3y+5=0; M (-7, -8).

22. l₁: 4x+y-13=0, l₂: x-5y-8=0; M (-4, 7).

23. l₁: 3x-2y-13=0, l₂: 2x+7y+8=0; M (-1, 9).

24. l₁: 2x-3y+3=0, l₂: 3x+y-12=0; M (-5, -6).

25. l₁: 4x+y+5=0, l₂: 5x-2y+16=0; M (4, -5).

26. l₁: 5x+y-7=0, l₂: 3x-2y-12=0; M (-6, 8).

27. l₁: 2x-3y-5=0, l₂: 4x+y-17=0; M (-5, -2).

28. l₁: 8x+3y-4=0, l₂: 2x+5y-18=0; M (8, 3).

29. l₁: 2x-3y+13=0, l₂: 2x+7y-8=0; M (7, 4).

30. l₁: 5x+y+7=0, l₂: 7x-2y+20=0; M (5, -6).

Задача 3.

Встановити тип кривої другого порядку L та знайти всі її характеристики: для кола – координати центра та радіус; для еліпса – координати центра, півосі, ексцентриситет, рівняння директрис; для гіперболи – координати центра, дійсну та уявну півосі, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння директрис, рівняння асимптот, для параболи – параметр параболи, координати вершини, координати фокуса, рівняння директриси.

Побудувати графіки кривих.