6 Линейная интерполяция функции

Задание 14.

Найти приближенное значение таблично заданной функции:

X	-1,5	-1	0	1
Y	9	7	4.5	2

в точке

Руководство к выполнению Задания 14.

Уравнение прямой, проходящей через три точки, имеет вид:

Запишем формулу для искомого значения

Выделим отрезок , содержащий . В данном случае ^. Следовательно

Подставим в формулу, получим: отсюда y = 5,125.

Расчеты в программе EXCEL:

X	-1,5	-1	0	1
Y	9	7	4,5	2
Х0	-0,25
У0	5,125	=(B5-C2)/(D2-C2)*(D3-C3)+C3

Рисунок 85

7 Определение параметров линейной зависимости

Задание 15.

Дана таблица экспериментальных данных:

X	1,5	2,3	3,1	3,9	4,7	5,5	6,3
Y	6,5	8,1	9,7	11,3	12,9	14,5	16,1

Показать, что зависимость Y(X) линейная, определить параметры этой зависимости.

Руководство к выполнению Задания 15.

а) Построим график по заданным точкам.

Рисунок 86

б) Докажем аналитически, что данная зависимость является линейной.

Если разделенные разности первого порядка для каждой i-той пары точек имеют близкие между собой значения, то данная зависимость является линейной,

X	Y	P1
1,5	6,5	2
2,3	8,1	2
3,1	9,7	2
3,9	11,3	2
4,7	12,9	2
5,5	14,5	2
6,3	16,1

Рисунок 87

Следовательно, данная зависимость имеет вид: .

в) Для определения параметров а и b данной зависимости методом наименьших квадратов необходимо решить систему уравнений

В расчетной таблице вычисление функций показано на Рисунке 88.

X	Y	Х*Х	Х*У
1,5	6,5	2,25	9,75
2,3	8,1	5,29	18,63
3,1	9,7	9,61	30,07
3,9	11,3	15,21	44,07
4,7	12,9	22,09	60,63
5,5	14,5	30,25	79,75
6,3	16,1	39,69	101,43
27,3	79,1	124,39	344,33

Рисунок 88

Последняя строка таблицы согласно Рисунку 88 содержит значения сумм по каждому столбцу. Система уравнений решается методом определения обратной матрицы согласно Рисунку 89.

Матрица	коэффициентов		Св. чл.
124,39	27,3		344,33
27,3	7		79,1
Обратная матрица:			Решение
0,055804	-0,21763		a=	2
-0,21763	0,991629		b=	3,5

Рисунок 89

Для проверки найденного решения в формуле при вычислении F(x) необходимо закреплять адреса ячеек, где находятся значения a и b.

X	Y	F(X)
1,5	6,5	6,5
2,3	8,1	8,1
3,1	9,7	9,7
3,9	11,3	11,3
4,7	12,9	12,9
5,5	14,5	14,5
6,3	16,1	16,1

Рисунок 90

Рисунок 91

Для определения параметров линейной зависимости в EXCEL используется функция ЛИНЕЙН (известные значения у; известные значения х; 1; 0). Работа в EXCEL оформляется следующим образом.

Вводятся заданные значения х и у.

Для определения параметров а и b выделяются две ячейки. Вызывается согласно Рисунку 92 функция ЛИНЕЙН. Согласно Рисунку 93 для первого параметра выделяются значения столбца у, для второго параметра – столбца х, третий и четвертый параметры остаются пустыми. Вводится функция тремя клавишами + + .

Рисунок 92

Рисунок 93

Для проверки надо вычислить значения F(X) для каждого значения X при полученных a и b согласно Рисунку 94.

Рисунок 94

Рисунок 95

На Рисунке 95 показан результат вычислений.