Затухающие колебания

В

реальных условиях любое движение всегда сопровождается процессами диссипации, т. е. необратимого поглощения и рассеяния энергии. Роль диссипативного элемента в электромагнитных цепях выполняет резистор. Каждую секунду резистор, согласно закону Джоуля - Ленца, превращает в тепло (за счет рассеяния носителей тока на неоднородностях структуры и состава материала) мощность Р = I²R.

Покажем, что собственные колебания заряда и тока в реальном колебатель­ном контуре, содержащем помимо конденсатора и катушки еще и резистор, являются затухающими, т. е. их амплитуда монотонно убывает со временем. Применим закон сохранения и превращения энергии и получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний (ДУЗК) в реальном контуре (контуре с сопротивлением и потерями энергии).

P = I²R = - dW/dt = - d/dt(q²/2C + LI²/2)  (dq/dt)R = - (2q/LC)dq/dt + 2(dq/dt)d²q/dt²  d²q/dt² + q/LC + (R/L)dq/dt = 0 

 d²q/dt² + 2dq/dt + _о²q = 0 – ДУЗК.

где: _о = 1/(LC) - собственная частота свободных (незатухающих) колебаний в контуре;

 = R/2L - коэффициент затухания колебаний:

Решить полученное уравнение можно путем замены переменной: q = Qе^-t.

Подставив в дифференциальное уравнение выражения для заряда q = Qе^-t и его производных dq/dt = е^-tdQ/dt – Qе^t и второй d²q/dt² = е^-td²Q/dt² – 2dQ/dtе^-t + ²Qе^-t, получим после сокращения дифференциальное уравнение для новой переменной Q;

е^-td²Q/dt² – 2dQ/dtе^-t + ²Qе^-t + 2е^-tdQ/dt – 2²Qе^-е + _о²q = 0  d²Q/dt² + (_о² – ²)Q = 0,

которое представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний величины Q: Q = Q_мcos (t + ), где  = (_о² – ²).

Возвращаясь к исходной переменной - заряду q, получим:

q = Qе^-t = Q_ме^-tcos (t + ) = q_м(t)cos (t + )

Колебания заряда происходят по гармоническому закону, но с экспоненциально убывающей во времени амплитудой q_м(t) = Q_ме^-t. Частота свободных затухающих колебаний  = (_о² – ²) понижается с ростом затухания. Затухание уменьшает среднюю силу разрядного и перезарядного тока в контуре и затягивает тем самым процессы разряда и перезаряда конденсатора, увеличивает период колебаний, уменьшает их частоту.

Д

ля достаточно большого затухания, при котором   _о процесс возвращения системы к состоянию равновесия пере­стает быть колебательным (частота колебаний  = (_о² - ²) становится мнимой). В этом случае имеет место процесс релаксации - апериодического, монотонного возвращения системы к положению равновесия (монотонный разряд конденсатора; вся энергия разрядного тока успевает перейти в теплоту, рассеяться на рези­сторе за время меньшее периода колебаний).

Коэффициент затухания  является мерой быстроты убывания амплитуды колеба­ний. Численно он равен обратному времени релаксации  - времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,72 раз: q_м/q_мо = е^- = е^-1 = 1/е.

Коэффициент затухания и время релаксации - недостаточно адекватные характеристики затухания, ибо не соотнесены с «естественным» временным масштабом самих колебаний - их периодом Т. Поэтому вводят еще такую меру затухания колебаний, как декремент D затухания, численно равный отношению двух «соседних» амплитуд, то есть амплитуд, разделенных во времени периодом Т:

D = q_м (t)/q_м(t + T) = q_мое^-t/q_мое^{-(t + T)} = е^-t/(е^-tе^-T) = е^T

Еще более удобной характеристикой затухания колебаний является логарифмический декре­мент затухания  = ln D = Т Его наглядная интерпретация - величина обратная числу колебаний N_е, совершающихся за время релаксации . Действительно:

 = Т = Т/ = 1/(/Т) = 1/N_е, где N_е = /Т.

Рассмотрим фазовые соотношения между колебаниями заряда и силы тока в реальном контуре (с потерями энергии, с затуханием).

q = q_мо е^-t cos (t + ),

I = dq/dt = q_мо(-) е^-t cos(t + ) - q_мое^-t sin(t + ) = q_мое^-t{-cos (t + ) - sin(t + )} = _оq_мое^-t{(-/_о)cos (t + ) - /_оsin(t + )} = _оq_мое^-tcos(t +  + )

(-/_о = cos ; /_о = sin 

tg  = - /

 - угол сдвига фаз между колебаниями заряда и силы тока.

Ток опережает по фазе заряд на угол , зависящий от  и . При  = 0 (нет потерь, затухания)  = /2.