Нестационарные процессы в цепи, содержащей индуктивность.

П

ри замыкании источника тока c ЭДС  и внутренним сопротивлением r на катушку индуктивности L в цепи протекает ток, сила  которого, в соответствии с законом Ома для замкнутой цепи, равна:

 = ( + _{с и})r = ( - Ld/dt) r

Разделяя переменные  и t в полученном дифференциальном соотноше­нии, получаем: d( - r) = dt/L

Интегрируем полученное равенство:

=  ln ( - r) - ln  = - rt/L  ln [( - r)/] = - rt/L  ( - r)/ = е^-rt/L   = (/r)(1 - е^{- rt/L}).

С

ила тока в цепи монотонно нарастает до установившегося (стационарного) значения, равного _уст = /r. Катушка индуктив­ности, как это и должно быть в соответствии с явлением самоиндукции, препятствует мгновенному нараста­нию силы тока в цепи, последовательно в которую она вклю­чена. Индуктивность играет роль инертного элемента, является магнитным аналогом массы, выступает мерой замед­ленности быстроты (скорости) изменений силы тока, пропускае­мого через неё.

При переключении катушки с током на резистор R в цепи будет протекать ток, сила I которого определится из уравнения – закона Ома:

 = _{с и}R = - Ld/Rdt.

Разделяя переменные и интегрируя соотношение, получаем:

= - R  ln  - ln I_о = - Rt/L  ln /I_о = - Rt/L   = I_ое^{- Rt/L}.

Здесь индуктивность также не позволяет току мгновенно измениться (упасть, убыть до нуля). И, несмотря на то, что источник тока выключен, и нет электри­ческих сил, обеспечивающих перемещение электрических зарядов, то есть протекание тока в цепи, он продолжает течь за счёт энергии магнитного поля, накопленной катушкой. Или, иначе говоря, ЭДС самоиндукции в катушке, противодействуя убыванию тока в ней, создаёт ток, поддержи­вающий ток "выключения" в цепи.

Энергия и объемная плотность энергии магнитного поля.

По аналогии с выводом выражения для энергии электрического поля рассмотрим магнитный аналог конденсатора - соленоид - длинную тонкую катушку длиной l, обладающую большим числом витков N, площадью поперечного сечения S и индуктивностью L. Пусть по катушке протекает ток силой I и катушку пронизывает результирующий магнитный поток (потокосцепление)  = Ф_В = ВSN = _оIN²S/l.

При увеличении тока в катушке на dI, пронизывающий ее поток возрастает на

d = _оN²S dI/l = LdI (L = _оN²S/l - индуктивность катушки), и при этом совершается работа равная: dА = Id = LIdI.

Полная работа при увеличении силы тока в катушке от нуля до I будет равна:

А = = = LI²/2

Эта работа ведет к появлению магнитостатического поля катушки и численно равна его энергии W_м = A = LI²/2. Полученное выражение по форме очень сходно с подобным выражением для энер­гии электростатического поля заряженного конденсатора: W_э = CU²/2.

На единицу объема (V = Sl) катушки приходится энергия _м, численно равная:

_м = W_м/V = _о N²SI²/l2Sl = _о N²I²/2l² = ВН/2 = _оН²/2

и называемая объемной плотностью энергии магнитного поля.

Напомним, что для объемной плотности энергии _э электрического поля выражение имело сходный вид _э = DЕ/2 = _оЕ²/2

Квазистационарное электромагнитное поле. Электромагнитные колебания.

В статическом (заряды неподвижны) и стационарном (заряды равномерно движутся, т. е. образуют постоянный ток) состояниях, создаваемые зарядами и токами электростатическое и магнитостатиче­ское поля существуют автономно, независимо друг от друга. Если же заряды движутся неравно­мерно, т. е. образуют переменный ток, то, как следует уже из явления электромагнитной индукции, возникает связь между электрическим и магнитным полем (электрическое поле создается уже не только электрическими зарядами, но и переменным магнитным полем). Такая связь приводит к появлению единого электромагнитного поля, основными формами существования которого явля­ются электромагнитные колебания и волны. В отличие от электромагнитных волн, электромагнит­ные колебания существуют в локализованном, т. е. связанном с порождающими его телами, состоянии. Такое, не распространяющееся в пространстве состояние электромагнитного поля, называют квазистационарным.

Под колебаниями понимают вид движений, характеризующихся повторяющимися измене­ниями состояния системы вокруг положения равновесия. В механике состояние системы задавалось двумя параметрами: положением (радиус-вектором ) и быстротой его изменения - скоростью = d/dt.

Электромагнитное состояние со стороны источников поля также может быть задано двумя параметрами: зарядом q и быстротой его изменения - силой тока I = dq/dt.

Колебания могут происходить в системе, обладающей упругостью, инертностью и малым затуханием при выведении ее из устойчивого состояния равновесия. Благодаря упругости в возму­щенной системе (выведенной из равновесия) возникают силы, противодействующие отклонению системы от положения равновесия, а благодаря инертности система, возвращаясь в равновесие, проскакивает его (по инерции) и самоотклоняется от равновесия в противоположную сторону. Далее процесс развивается в обратном направлении, и таким образом возникает повторяю­щийся, циклический, то есть колебательный характер изменения состояния системы.

Ниже мы будем рассматривать периодические колебания заряда и тока, характерным для которых является наличие периода Т - наименьшего времени повторения процесса изменения состояния системы: q(t) = q(t + nT), где n  Z.

По форме изменения параметров состояния рассмотрим колебания, называемые гармониче­скими: q = q_м cos (t + ) = q_мcos Ф,

где q_м - амплитуда колебания - наибольшее (максимальное) отклонение от равновесного значения;

Ф = t +  - полная фаза колебания - характеристика текущего (мгновенного) состояния колеба­тельного процесса;

 = Ф (при t = 0) - начальная фаза колебания; измеряется в радианах и задает состояние колеба­тельного процесса в начальный момент времени;

 = dФ/dt - циклическая частота колебания; измеряется в рад/с и численно равна быстроте изме­нения фазы.

П

ростейшей электромагнитной колебательной системой является колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки индуктивности. Если провести аналогию с механическими колебаниями, то нужно отметить, что конденсатор реализует свойство упругости, а катушка индук­тивности - свойство инертности.

Рассмотрим качественно механизм возникновения свободных² колебаний заряда и тока в контуре. В состоянии равновесия конденсатор не заря­жен. Сообщив конденсатору некоторый заряд q, выведем колебатель­ную систему из положения равновесия. Появив­шееся электрическое поле приведет в движение заряды, накопленные на пластинах конден­сатора; потечет разрядный ток I. Этот возрастающий ток, проте­кая по виткам катушки, вызовет появление в ней ЭДС самоиндукции _си = - LdI/dt, «направленной» (в соответствии с правилом Ленца) против причины ее вызвавшей, то есть препятствующей измене­ниям разрядного тока. Т. к. в начальный момент разрядный ток стремится возрасти, то ЭДС самоиндукции имеет такую полярность, при которой она препятствует его возрастанию. При этом по мере разряда конденсатора, накопленная в нем энергия электрического поля, будет переходить в энергию магнитного поля катушки. В момент, когда конденсатор полностью разрядится, вся его энергия W_э = q²/2С = СU²/2 перейдет в энергию магнитного поля катушки W_м = LI²/2, ток в контуре достигнет максимального значения. Но вследствие магнитной инертности ток в контуре не может резко упасть до нуля. Этому препятствует ЭДС самоиндукции, которая меняет знак и поддерживает дальнейшее протекание тока в контуре, вызывающего теперь перезарядку конденсатора. Перезарядный ток постепенно уменьшается до нуля, конденсатор полностью перезаряжается, и далее процесс разрядки конденсатора повторяется в обратном направлении.

Рассмотрим количественную сторону процессов осуществления колебаний в контуре. Считая систему консервативной (пренебрегая потерями энергии колебаний в контуре), запишем закон сохранения энергии:

W_э + W_м = q²/2C + LI²/2 = const  q²/CL + (dq/dt)² = const

Продифференцировав полученное равенство по времени, получим дифференциальное урав­нение для заряда. Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

(2q/LC)dq/dt + 2(dq/dt)d²q/dt² = 0  d²q/dt² + q/LC = 0  d²q/dt² + _о²q = 0

где _о = 1/(LC) - циклическая частота собственных колебаний заряда в контуре, определяемая его внутренними (собственными) характеристиками: емкостью конденсатора и индуктивностью катушки.