4. Волновая оптика

   1. Интерференция

Рассмотрим волновое поле системы двух источников колебаний. В каждой точке поля происходит сложение колебаний, дошедших до этой точки от обоих источников. Но сложение произвольных, даже гармонических колебаний дает неустойчивую, изменяющуюся с течением времени картину. Только в определенном частном случае два (или несколько) волновых процесса создают устойчивую, неизменную во времени интерференционную картину.

Явление интерференции состоит в таком наложении двух систем волн, при котором амплитуды результирующих колебаний в одних точках велики, а в других – почти равны нулю (все это относится к любым, а не только оптическим, волновым процессам).

Интерференционная картина наблюдается при выполнении условий когерентности⁵:

1. Если в объемном волновом поле происходит наложение продольных волн от точечных источников, то практически во всех точках колебания складываются под углом. При этом почти нет точек, где результирующее смещение всегда равно нулю. А точки, в которых суммарный процесс приводит к состоянию покоя, наиболее характерны для интерференционной картины. Такая картина может наблюдаться только в поле поперечных волн, если в каждой точке поля складываются колебания, направленные вдоль одной прямой. Следовательно, когерентными могут быть поперечные волны с колебаниями, одинаково направленными в каждой точке.

2. Когерентными являются волны, разность фаз которых во всех точках волнового поля не зависит от времени, для этого источники колебаний должны быть когерентными, т.е. работать с постоянной разностью фаз. Такие неподвижные источники работают на равных частотах.

3. Наиболее выразительна интерференционная картина, если амплитуды складываемых колебаний близки друг к другу (тогда в точках минимума наблюдается почти полное отсутствие колебаний).

Итак, в каждой точке интерференционной картины происходит сложение колебаний равных частот, направленных вдоль одной прямой. Если складываются гармонические колебания, то результирующий процесс гармоничен. Амплитуда этого процесса сильно зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Допустим, что неподвижные источники и (рис. 5.20) гармоничны и когерентны, т.е. работают на одной частоте и, вдобавок, с одинаковыми начальными фазами. Отложим на расстоянии отрезок КМ, равный . Тогда вопрос об усилении или ослаблении колебаний в точке М наблюдения определяется геометрической разностью хода . Если на разности хода укладывается четное число полуволн, то точка колеблется «в фазе» с точкой К (вспомните определение длины волны). Значит, и точка колеблется «в фазе» с точкой К (по условию разность фаз и всегда одинакова). Пройдя до точки наблюдения М от и К одинаковые пути с одной скоростью, волны придут «в фазе» и усилят друг друга.

Если на разности хода уложится нечетное число полуволн, то точки и К будут колебаться в противофазах (нечетное число полуволн означает целое число волн и еще одну полуволну), точки и К тоже имеют разность фаз ; далее, пройдя одинаковые пути с одинаковой скоростью, колебания в точку наблюдения придут в противофазах и ослабят друг друга.

Наконец, если на разности хода уложится нецелое число полуволн, то фазы точек К и , а, следовательно, и будут отличаться на дробное число , и в точке наблюдения будет либо частичное усиление, либо частичное ослабление колебаний. Степень этого усиления или ослабления зависит от близости к синфазному⁶ или противофазному сложению

Все случаи можно описать математически в виде:

Все изложенное было известно в волновой механике и пока не имеет никакого отношения к оптике. Если бы, войдя в помещение с двумя включенными лампами, вы увидели бы на белой стене чередование светлых и темных полос, то можно было бы говорить об интерференции света. Но практически еще никто не наблюдал интерференцию света от разных источников. Это можно объяснить так: либо свет – не волны, либо – волны, но не продольные, либо источники света некогерентны. Мы остановимся на последнем предположении.

Возьмем в качестве источника света раскаленное тело (хотя бы электролампу накаливания); его возбужденные атомы испускают излучение различных частот и амплитуд. При наложении колебаний от различных частей источника (или от разных некогерентных источников) не получается устойчивой, т.е. интерференционной картины. Так же не удается получить интерференционную картину при наложении излучений, испущенных разновременно одной частью источника.

Свет испускается атомом во время перехода из более возбужденного в менее возбужденное состояние. Время такого перехода порядка с. В течение этого времени излучается почти монохроматическая⁷ волна с определенной частотой и амплитудой. При наложении колебаний разных частот с произвольно меняющимся соотношением фаз устойчивая картина невозможна. Значит, для получения интерференционной картины надо наложить друг на друга с небольшой разностью фаз части излучения одного и того же атома. За время монохроматического излучения одного атома свет распространяется на длину когерентности м. Это расстояние вдоль волны, на котором ее можно считать когерентной самой себе. Для того чтобы складывались достаточно большие части монохроматических излучений каждого атома, разность хода оптических волн должна быть много меньше длины когерентности.

Это оптическое условие когерентности можно записать в виде

.

Французский инженер Френель осуществил классический опыт и получил интерференцию света.

Опыт с зеркалами Френеля изображен на рисунке 5.21. Свет источника S отражается от двух зеркал, плоскости которых образуют двугранный угол, немного меньший . Изображения одного и того же источника S когерентны, поэтому на экране складываются волны от двух когерентных источников и . Так как плоскости зеркал почти совпадают, разность хода этих волн удовлетворяет оптическому условию когерентности.

На тех частях экрана, куда попадает свет от двух источников и , наблюдаются светлые и темные полосы. Светлые полосы могли образовать и два потока корпускул; но не может быть двух потоков частиц, один из которых уничтожает другой. В местах минимума «свет гасится светом», а это типично волновое явление.

12. Длина волны света в воде меньше, чем в воздухе, в частности, длина волны красного цвета в воде равна длине волны зелёного цвета в воздухе. Тем не менее, когда человек из-под воды смотрит на красный предмет (например, на заходящее Солнце), цвет не меняется. Объясните, почему?

Френель дополнил принцип Гюйгенса рядом интерференционных положений: каждую точку фронта, по принципу Гюйгенса – Френеля, нужно рассматривать как точечный источник элементарных сферических волн, но они когерентны и в точках наблюдения создают интерференционную картину. Вот почему от точечного источника, например, мы не видим целого ряда расширяющихся сфер, как следовало из принципа Гюйгенса. Френель дал ряд методов расчета интерференционных картин, на которых мы здесь останавливаться не будем. Добавим только, что источником почти монохроматического когерентного излучения являются лазеры. Свет от разных лазеров одной конструкции достаточно когерентен, чтобы дать интерференционную картину.

Рассмотрим интерференцию в тонких пленках (рис. 5.22). Монохроматический световой луч в точке А раздваивается: луч 1 отражается, луч 2 преломляется, отражается от нижней грани в точке В, преломляется на верхней грани в точке D и выходит в первую среду параллельно лучу 1 (это легко доказать, пользуясь законами отражения и преломления).

В точке В (как, впрочем, и во всех других точках D, Е и т.п.) кроме отражения происходит преломление, луч 3 выходит из пластинки параллельно падающему. В точке D происходит частичное отражение, и луч 4, преломляясь, выходит параллельно лучу 3 (результаты остальных отражений и преломлений не рассматриваем). Выходящие когерентные лучи 1 и 2, если их собрать в одну точку, например, линзой, интерферируют в отраженном свете; аналогичную картину в проходящем свете можно получить, собрав лучи 3 и 4 (и, разумеется, все им подобные). Геометрическая разность хода лучей 1 и 2 равна , так как далее от точек G и D до встречи эти лучи пройдут одинаковые пути. Аналогично геометрическая разность хода лучей 3 и 4 , причем она равна геометрической разности хода лучей 1 и 2. Это легко доказать, рассмотрев попарно треугольники ABD, BDE, ADG и BEF. Но рассматривать геометрическую разность хода таких пар лучей бесполезно, так как они распространяются в различных средах с разными скоростями. Нужно вычислить разность фаз складываемых колебаний, приняв их начальные фазы в точках А и В за нуль. Преобразуем уравнение плоской волны:

Разность фаз колебаний в точках F и Е

где скорости света соответственно в вакууме и в пленке;

длина волны используемого света в вакууме (практически в воздухе);

абсолютный показатель преломления пленки.

В зависимости от вычисленная разность фаз может принимать разные значения, а вместе с ней будет изменяться амплитуда результирующего процесса в точке наблюдения. Если

,

то колебания будут синфазны, в точку наблюдения они придут «в фазе» и усилят друг друга, амплитуда результирующего процесса будет наибольшей. Если

,

то происходит противофазное сложение колебаний, они ослабляют друг друга; амплитуда результирующего процесса в точке наблюдения минимальна. Наконец, возможно много промежуточных значений, когда не равна целому числу . Тогда и, следовательно, амплитуда результирующих колебаний принимают промежуточные значения, наблюдается частичное усиление или ослабление одних колебаний другими в зависимости от близости к тому или другому из указанных условий.

Величина называется оптической разностью хода. Она равна

.

Если вместо разности фаз подставить это выражение в сформулированные выше условия максимумов и минимумов, то эти условия примут вид

Таким образом, действительно играет роль разности хода, только с учетом различия сред. Если на оптической разности хода разделенных лучей укладывается четное число полуволн, то наблюдается максимум; нечетное – минимум; нецелое – частичное усиление или ослабление колебаний.

Эти условия описывают интерференцию в проходящем свете, наблюдаемую на достаточно тонкой пленке в воздухе. Для отраженного света условия поменяются местами, так как к разности хода прибавится полволны при отражении от оптически более плотной среды (в точке А).

Интерференцию в тонких пленках используют в технике. Например, если создать в высокой степени однородную пленку, осветить ее достаточно параллельными монохроматическими лучами, то можно очень точно измерить толщину пленки в различных точках по распределению минимумов и максимумов. Интерференционные методы измерения длины – одни из самых точных.

Освещая тонкую пленку белыми лучами, можно ожидать, что распределение минимумов и максимумов будет для каждого цвета свое, близкие цвета будут соседями, и вся картина радужно окрасится. Именно интерференция в тонких пленках лучше всего знакома читателю по масляным или нефтяным пятнам на лужах или стекле.

Частный случай такой интерференции – кольца Ньютона (рис. 5.23, обозначения соответствуют рисунку 5.22). На плоскопараллельную пластину выпуклой стороной положена плосковыпуклая линза с большим радиусом кривизны. Малый воздушный промежуток играет роль тонкой пленки, вызывая появление максимумов и минимумов в монохроматическом свете. Форма интерференционной картины кольцеобразна, так как одинаковые условия минимума или максимума наблюдаются во всех точках, равноотстоящих от оси линзы. Естественно, эти условия связаны с длиной волны, поэтому в случае освещения установки белым светом получаются радужно окрашенные кольца. Измерив диаметры соответствующих колец, можно определить длину волны света или радиус кривизны линзы.

Радиусы светлых и темных колец: , (т=1, 2, …). Четным т соответствуют радиусы светлых колец, нечетным – темных.

13. Где плотнее расположены интерференционные кольца Ньютона – в центре или на периферии? Почему?