Зразок виконання лабораторної роботи Вказівки до виконання роботи
Для чисельного розв’язування задачі Коші методом Ейлера, удосконаленого методу Ейлера-Коші і Рунге-Кутта 4-го порядку точності потрібно скласти відповідні програми на одній з мов програмування або виконати відповідні розрахунки з допомогою програми Microsoft Office Excel. Результати роботи зберегти у власній папці.
Завдання
Завдання 1. Методом Ейлера, удосконаленого методу Ейлера-Коші і Рунге-Кутта 4-го порядку точності на відрізку [0,1] знайти чисельний розв’язок задачі Коші: y¢=1+(1–x)siny–(2+x)y, y(0)=0, n=10. Виконати перерахунок при n=20, n=30.
Завдання 2. Використовуючи метод Ейлера, на відрізку [0,1] при n=10 знайти чисельний розв’язок системи диференціальних рівнянь
,
що задовольняють початковим умовам: y(0)=0, z(0)=1, t(0)=1.
Завдання
3.
Використовуючи метод Ейлера, на відрізку
[1,2] при n=10
знайти чисельний розв’язок диференціального
рівняння
з початковими умовами y(1)=0,77,
y’(1)=-0,44.
Розв’язання
Задача 1. Використовуючи програму Microsoft Office Excel, задавши конкретний аналітичний вираз функції, значення параметра хk та провівши обчислення при n=10, n=20 і n=30, отримаємо наступні результати :
Задача 2. Результати обчислень за формулами подані в таблиці:
|
i |
xs |
ys |
zs |
ts |
|
0 |
0 |
0,00000000 |
1,00000000 |
1,00000000 |
|
1 |
0,1 |
0,70000000 |
1,10000000 |
1,00000000 |
|
2 |
0,2 |
1,58000000 |
1,02000000 |
1,00220086 |
|
3 |
0,3 |
2,62288034 |
0,68822449 |
1,01368257 |
|
4 |
0,4 |
3,78939679 |
0,03112450 |
1,05622325 |
|
5 |
0,5 |
5,01910280 |
-1,02240709 |
1,16543696 |
|
6 |
0,6 |
6,23237601 |
-2,54729303 |
1,26651623 |
|
7 |
0,7 |
7,28126980 |
-4,61962463 |
1,01300241 |
|
8 |
0,8 |
7,82683733 |
-7,13197466 |
0,97997079 |
|
9 |
0,9 |
7,72460071 |
-10,01893855 |
1,26264085 |
|
10 |
1 |
6,85889563 |
-13,42135087 |
0,79226303 |
Задача 3. За допомогою підстановки y’=z, y’’=z’, замінимо дане рівняння системою рівнянь
з
початковими умовами у(1)=0,77,
z(1)=–0,44.
Таким чином, f1(x,y,z)=z,
.
Результати обчислень за формулами
записані в таблиці.
|
i |
xi |
yi |
zi=y'i |
|
0 |
1 |
0,770 |
-0,440 |
|
1 |
1,1 |
0,726 |
-0,473 |
|
2 |
1,2 |
0,679 |
-0,503 |
|
3 |
1,3 |
0,628 |
-0,529 |
|
4 |
1,4 |
0,576 |
-0,551 |
|
5 |
1,5 |
0,521 |
-0,569 |
|
6 |
1,6 |
0,464 |
-0,583 |
|
7 |
1,7 |
0,405 |
-0,593 |
|
8 |
1,8 |
0,346 |
-0,599 |
|
9 |
1,9 |
0,286 |
-0,600 |
|
10 |
2 |
0,226 |
|