Операции с нечеткими множествами

Приведем некоторые из основных операций, которые можно осуществлять над нечетким множествами.

1. Дополнение нечеткого множества обозначается символом ¬А и определяется следующим образом:

.

Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Например, если А — название нечеткого множества, то «не А» понимается как ¬А.

2. Объединение нечетких множеств А и В обозначается А+В (или ) и определяется:

(4.16)

Объединение соответствует логической связке «или». Например, если А и В — названия нечетких множеств, то запись «А или В» понимается как А +В.

При определении степени принадлежности элементов и новому нечеткому множеству, выбирают большее из μ_A и μ_В.

Замечание: следует иметь в виду, что логическая связка в данном контексте означает по определению max (т.е. max); означает min (т.е. min ).

3. Пересечение А и В обозначается и определяется следующим образом:

(4.17)

Пересечение соответствует логической связке «и», т.е.

А и В = (4.18)

При определении степени принадлежности элементов u новому нечеткому множеству выбирают меньшее из μ_A и μ_В..

4. Произведение А и В обозначается АВ и определяется формулой

, если

Пример 5.5. Если

U = 1+ 2 + …+ 10

А=0,8/3+1/5+0,6/6,

B=0,7/3+1/4+0,5/6,

то ¬А =1/1+1/2+0,2/3+1/4+0,4/6+1/7+1/8+1/9+1/10,

А+В=0,8/3+1/4+1/5+0,6/6

=0,7/3+0.5/6 (берется min из двух значений μ),

АВ=0,56/3+0,3/6

0.4А=0,32/3+0,4/5+0,24/6

Декартово произведение нечетких множеств А₁, ..., А_n универсальных множеств U₁,..., U_n соответственно обозначается А₁ ... А_n и определяется как нечеткое подмножество множества U₁ …U_n с функцией принадлежности.

(4.23)

таким образом

(4.24)

Пример 5. 6. Если

U₁=U₂=3+5+7,

А₁=0,5/3+1/5+0,6/7,

А₂=1/3+0,6/5, то

А₁А₂=0,5/3;3+1/5;3+0,6/7;3+0,5/3;5+0,6/5;5+0,6/7;5

Нечеткая и лингвистическая переменные

Нечеткая переменная определяется кортежем

где X — наименование нечеткой переменной,

U = {u} — область ее определения или универсальное множество

— нечеткое множество на U, описывающее ограничения на возможные числовые значения нечеткой переменной.

Лингвистическая переменная определяется кортежем

|где X— наименование лингвистической переменной,

Т — множество ее значений или термов, представляющее собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является U.

Например, для лингвистической переменной, представленной на рис. 14.4, термы определяются следующим образом:

T={T₁T₂,T₃,}, u₀<u₂<u₁<u₄<u₃<u_t, U=[u₀,u_t].

Пару точек (u₀,u_t) будем называть граничной парой. Без особой необходимости не различают переменную и ее наименование.

Множество Т будем называть базовым терм-множеством лингвистической переменной; G – синтаксическая процедура, описывающая процесс образования из множества Т новых, осмысленных для данной задачи принятия решений значений лингвистической переменной.

X

u₀ u₁ u u₂ u₃ u u₄ u

Рис. 14.4. Графическое представление распределения терм-множеств лингвистической переменной X

Множество T*=TG(T) назовем расширенным терм-множеством лингвистической переменной.

М — семантическая процедура, позволяющая приписать каждому новому значению, образуемому процедурой G, некоторую семантику путем формирования соответствующего нечеткого множества, т.е. отобразить новое значение в нечеткую переменную. Пример лингвистической переменной.

Пусть ЛПР оценивает посадочную скорость летательных аппаратов с помощью понятий «малая», «небольшая», «средняя», «невысокая». При этом максимальная посадочная скорость равна 300 км/час. Формализация такого описания может быть приведена с помощью лингвистической переменной

< скорость, {малая, небольшая, средняя, высокая}, [0,300], G, M>,

где G — процедура перебора элементов базового терм- множества,

М— процедура экспертного опроса.