Изображение гармонического тока вектором на плоскости

Если на комплексной плоскости (в декартовой системе) изобразить вектор в момент времени t₀, совпадающий с осью абсцисс, и заставить его вращаться по часовой стрелке вокруг центра координат, то проекция вектора на ось Ox будет изменяться по косинусоидальному закону, а проекция на ось Oy ‑ по синусоидальному с циклической частотой ω.

В каждый момент времени фаза этих гармонических колебаний будет определяться углом между таким вектором и Ox.

Если в момент времени t = 0 исходное положение вектора характеризуется некоторым значением угла φ₀, что будет соответствовать сдвигу фаз адекватных гармонических колебаний.

Каждому гармоническому колебанию соответствует вполне определенный вращающийся вектор на комплексной плоскости.

Это вполне согласуется с представлением функций cos и sin по формулам Эйлера.

İ_m=I_me^jφ0 – комплексная амплитуда – мгновенное значение колебания на момент времени t=0.

İ_д = İ_m/2 – комплекс действующего значения

İ_ср – комплекс среднего значения

İ_m, İ_д, İ_ср характеризуют колебание однозначно.

Можно рассчитывать цепь, содержащую реактивные элементы C, L, R и источник гармонической энергии теми же способами, что и цепи постоянного тока.

В результате расчета получим искомое значение İ_m или Ù_m, после чего можно написать функцию тока или напряжения, дополнив фазу компонентой (слагаемым) ωt – sin(ωt+φ₀).

Если ИЭЭ изменялся по закону синуса, то в выражении комплексного значения İ(t)=I_me^j(ωt+φ0) необходимо брать мнимую часть, если же по закону косинуса – действительную.

Умножение вектора на +j поворачивает его на 90° против часовой стрелки (в сторону опережения).

Н а комплексной плоскости можно изобразить все векторы токов и напряжений соответствующих элементов, рассматриваемых в цепи.

В активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.

‑ мощность, которую будет показывать счетчик ЭЭ

Активная мощность характеризует потери энергии в сопротивлении.

Сопротивление проводника формируется 2-мя эффектами:

1. вытеснение тока на поверхность (скин-эффект)

2. эффект близости

Вытеснение тем более эффективное, чем быстрее скорость изменения тока (чем больше частота). При ↓ эффективного сечения проводника ↑ сопротивление.

Гармонический ток и напряжение в идеальной емкости

X_C – модуль реактивного сопротивления емкости

Ток через емкость опережает напряжение на емкости на 90º.

М одуль сопротивления емкости не зависит ни от тока, ни от напряжения → емкость – элемент линейный.

Мгновенная мощность

Гармонический ток и напряжение в реальной емкости (конденсаторе)

Схема 1 Схема 2

Схема 1

Базовый вектор надо выбирать так, чтобы при построении надо было учитывать взаимные фазовые сдвиги, равные 0°, 90°, -90°, 180°.

I(t) для этой цели не годится, т.к. для дальнейшей работы нужно будет вычислить R.

Любой конденсатор характеризуется добротностью.

Добротность характеризует отношение энергии, запасаемой в реактивном элементе, к энергии потерь. Чем этот показатель больше, тем лучше.