Рисунки до задач д. 8. 0. – д. 8. 5.

Рисунки до задач д. 8. 6. – д. 8. 9.

Розв’язання. Зображаємо вал і прикріплений до нього ламаний стержень у відповідності з заданими кутами (рис. 21.23 а,б). Маси і ваги частин 1, 2 і 3 ламаного стержня, оскільки вони пропорціональні довжинам частин, а довжина всього стержня 10b, відповідно дорівнюють

; ; ;

; ; . (1)

Для визначення шуканих реакцій розглянемо рух ламаного стержня і використаємо принцип Даламбера. Проведемо рухомі вісі Dxy так, щоб стержень був розташований в площині xy, і зобразимо діючі на нього

Рис. 21. 23, а, б.

зовнішні сили: сили ваги складові та реакції шарніра D і реакцію стержня 4.

Приєднаємо до цих сил сили інерції елементів стержня. Вал обертається рівномірно (), тому елементи стержня одержують тільки нормальні (доосьові) прискорення

де - відстань від елементів до осі обертання.

Тоді сили інерції елементів мають напрям від осі обертання (вони відцентрові), а чисельно

∆∆,

де ∆m—маса елемента.

Епюри цих паралельних сил інерції утворюють для частин 1 і 2 трикутники, а для частини 3—прямокутник. Кожну з одержаних систем паралельних сил інерції замінюємо її рівнодіючою, що дорівнює головному вектору цих сил. Для частин стержня одержимо

; ; (2)

Нормальні прискорення центрів мас частин стержня

; ; ,

де ,,- відстані від центрів мас частин стержня до осі обертання:

; ; .

Тоді

Н;

Н;

Н.

При цьому лінії дії рівнодіючих і пройдуть через центри ваги відповідних трикутників, тобто на відстанях і від осі :

м;

м.

Рівнодіюча прикладена в середині частини 3 і проходить на відстані від осі :

м.

Згідно з принципом Даламбера прикладені сили та сили інерції утворюють врівноважену систему сил. Складемо для цієї плоскої системи три рівняння рівноваги:

; ; (4)

; ; (5)

;

. (6)

З рівняння (6) одержимо

Н.

З рівняння (4):

;

Н.

З рівняння (5) одержимо

;

;

Н.

Відповідь: Н; Н;Н.

Примітка. Якщо за умовою задачі ламаний стержень в точці D жорстко скріплений з валом (невагомий стержень 4 відсутній) і потрібно визначити реакції підп’ятника А та підшипника Е, то для розв’язання необхідно розглянути рух механічної системи, що складається з ламаного стержня і вала і також використати принцип Даламбера. При цьому діючими зовнішніми силами будуть всі сили ваги і реакції опор: реакцію підп’ятника А представляємо двома її складовими та , а реакцію підшипника Е направляємо паралельно до осі x в будь- який бік. Сили інерції елементів ламаного стержня обчислюємо так, як в розглянутому вище прикладі. Потім складаємо три рівняння рівноваги і з них визначаємо шукані реакції.

Приклад розв’язання задачі Д.8. Другий рівень складності.

Вертикальний вал, закріплений підп’ятником А і підшипником Е, обертається зі сталою кутовою швидкістю с. Ламаний однорідний стержень маси кг і довжини 10b, який складається з частин 1, 2, 3, прикріплений до вала шарніром D і утримується в положенні, що визначається кутом , невагомим стержнем 4. До вала прикладена пара сил з моментом М, розташована в площині xy.

Дано: m=10 кг; с; ; b=0,2 м; Нм;

Визначити: реакції шарніра D і стержня 4.

Розв’язання. Зображаємо вал і прикріплений до нього ламаний стержень в положенні, яке визначається заданими кутами (рис. 21.24). Маси і ваги частин 1, 2 і 3 ламаного стержня пропорціональні довжинам цих частин і відповідно дорівнюють

Рис. 21. 24.

; ; ;

; ; . (1)

Для визначення шуканих реакцій розглянемо рух ламаного стержня і використаємо принцип Даламбера. Виберемо на рисунку рухомі вісі Dxy так, щоб стержень був розташований в площині xy, і зобразимо діючі на нього зовнішні сили: сили ваги складові та реакції шарніра D, реакцію стержня 4 і пару сил з моментом М.

Приєднаємо до цих сил сили інерції елементів стержня, які обчислюються так, як в прикладі розв’язання задачі Д.8 першого рівня складності:

Н;

Н;

Н.

Побудуємо епюри розподілу сил інерції елементів стержня і проведемо лінії дії рівнодіючих , і через центри ваги відповідних епюр. Визначаємо відстані , від ліній дій рівнодіючих , і до осі Dx:

м;

м; (2)

м.

Згідно з принципом Даламбера прикладені сили та сили інерції утворюють врівноважену систему сил. Складемо для цієї плоскої системи три рівняння рівноваги:

; ; (3)

; ; (4)

;

(5)

З рівняння (5) одержимо

Н.

З рівняння (3):

;

Н.

З рівняння (4) одержимо

;

;

Н.

Відповідь: Н; Н;Н.

Знаки показують, що дійсні напрями реакцій та протилежні показаним на рис. 21.24.

Приклад розв’язання задачі Д.8. Третій рівень складності.

Механічна система складається з вала АК, який рівномірно обертається з кутовою швидкістю с і закріплений в точці А підп’ятником, а в точці Е—циліндричним підшипником, та прикріплених до вала ламаного стержня і стержня 5 (рис. 21.25).

Ламаний тонкий однорідний стержень маси кг і загальної довжини 10b складається з частин 1, 2, 3, розміри яких показані на рис. 21.25, а маси пропорціональні їх довжинам. Він прикріплений до вала шарніром D і утримується в положенні, що визначається кутом , за допомогою невагомого стержня 4.

Однорідний прямолінійний стержень 5 маси кг і довжини м жорстко прикріплений до вала в точці К і розташований паралельно до осі x праворуч від вала АК. Відстані АВ=BD=DE=EK=0,4 м.

Дано: m=10 кг; с; b=0,2 м; ; ; кг; м; АВ=BD=DE=EK=0,4 м.

Визначити: реакції шарніра D і стержня 4.

Рис. 21. 25.

Розв’язання. Зображаємо вал і прикріплені до нього стержні у відповідності з заданими кутами і умовами. Визначимо маси і ваги частин 1, 2, 3 ламаного стержня, що пропорціональні довжинам цих частин

; ; ;

; ; . (1)

Для визначення шуканих реакцій розглянемо рух механічної системи і використаємо принцип Даламбера. Проведемо рухомі вісі Dxy так, щоб стержні були розташовані в площині xy, і зобразимо всі діючі на них зовнішні сили: сили ваги складові та реакції шарніра D і реакцію стержня 4.

Приєднаємо до цих сил сили інерції елементів ламаного стержня. Оскільки вал обертається рівномірно (), то елементи стержнів одержують тільки нормальні (доосьові) прискорення . Тоді сили інерції елементів мають напрям від елементів до осі обертання (відцентрові), а чисельно:

∆∆, (2)

де ∆m—маса елемента, - відстань від елемента до осі обертання.

Епюри цих паралельних сил інерції утворюють для частин 1 і 2 ламаного стержня трикутники, для частини 3 ламаного стержня—прямокутник, а для стержня 5—систему паралельних сил, що розташовані на одній горизонтальній осі, паралельній до осі стержня. Кожну з одержаних систем паралельних сил інерції замінюємо її рівнодіючою, що дорівнює головному вектору цих сил. Одержимо

Н;

Н;

Н;

Н.

При цьому лінії дії рівнодіючих і пройдуть через центри ваги відповідних трикутників, тобто на відстанях і від осі :

м;

м.

Рівнодіюча прикладена в середині частини 3 і проходить на відстані від осі :

м.

Рівнодіюча прикладена в точці і проходить на відстані DK від осі :

м.

Згідно з принципом Даламбера прикладені зовнішні сили та сили інерції утворюють врівноважену систему сил. Складемо для цієї плоскої системи три рівняння рівноваги:

; ; (3)

; ; (4)

.(5)

З рівняння (5) одержимо

Н.

З рівняння (3) одержимо

;

Н.

З рівняння (4) одержимо

;

Н.

Відповідь: Н; Н;Н.

94