1 Уравнение плоскости в векторной форме

Плоскость, проходящую через точку C и перпендикулярную заданному вектору n, можно рассматривать как геометрическое место точек M, таких, что вектор CМ= m перпендикулярен вектору n.

Запишем уравнение плоскости в векторной форме. Введем некоторую систему координат с центром в точке О. Мы получим

m n = 0 (3.14)

Но вектор CМ= m , очевидно, равен разности радиус- векторов ОC и ОМ.

Первый вектор обозначим x₀, а второй обозначим x.

Мы получаем m= x – x₀. Подставляя эту формулу в (3.14), мы находим уравнение плоскости в векторной форме

(x – x₀) n = 0 (3.15)

2 Общее уравнение плоскости

Уравнение (3.15) может быть переписано в более явном, но менее компактном

виде. Пусть координаты вектора n будут (a, b,c), вектора x₀ - (x₀,y_0, z₀), a вектора x - (x,y, z).

Используя выражение для скалярного произведения через координаты, получаем

(после подстановки в (3.15))

a x + by + cz + C=0. (3.16)

Итак, уравнение любой плоскости может быть записана в виде (3.16), при этом коэффициенты (a, b, с) есть координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к ней. Заметим, что этот вектор может быть выбран различными способами. Изменение вектора

сводится к умножению обеих частей уравнения на некий коэффициент. Если этот вектор имеет единичную длину, то мы приходим к так называемому нормальному уравнению п

плоскости

 x + y + z + r = 0. (3.17)

Чтобы получить нормальное уравнение плоскости из общего, достаточно обе части общего уравнения поделить на корень из суммы квадратов коэффициентов a² + b^{2 .}+ c²

В уравнении (3.10a) сумма квадратов коэффициентов равна 1.

3 Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку.

Если мы немного иначе преобразуем векторное уравнение (3.15), не раскрывая некоторые скобки, мы получим уравнение плоскости , проходящей через заданную точку С с координатами (x₀,y₀ , z₀)

a( x - x₀) + b(y - y₀) +c(z - z₀) =0. (3.18)

4 Расстояние между точкой с координатами (x₁,y_1, z₁) и плоскостью.

Чтобы найти расстояние d между точкой и плоскостью, снова удобно использовать нормальное уравнение (3.17). Формула для вычисления расстояния имеет вид

d= | x₁ + y₁ + z₁ + r| . (3.19)

Эта формула может быть объяснена просто. Мы подставляем координаты заданной точки в уравнение и абсолютная величина полученного при этом числа будет расстоянием.

Доказательство абсолютно аналогично доказательству для случая прямой в пространстве и мы не будем его рассматривать здесь.

Кривые второго порядка

Прямая может быть названа кривой первого порядка, поскольку в уравнения прямой

координаты (x , y) входят в первой степени. Полностью изучены также кривые, описываемые уравнениями второго порядка, такими как

x² + y² + xy =3, x² - 2y² + xy =5, x² + 7y² =1

где координаты (x , y) входят не выше, чем в первой степени. Эти кривые

описывают либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу, либо вырождаются

в прямые или в пустое множество. Эллипс, гипербола и парабола были известны еще

древним грекам как конические сечения (пересечения конуса плоскостью).

Сформулируем определения.

Определение 1 .

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух

фиксированных точек F₁, F₂ (называемых фокусами эллипса) постоянна.

Определение 2 .

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух фиксированных точек F₁, F₂ (называемых фокусами гиперболы) постоянна.

Определение 3.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированных точки F (называемой фокусом параболы) и фиксированной прямой (называемой директрисой параболы)

Заметим, что в случае эллипса, если фокусы совпадают, то эллипс вырождается в окружность.

Уравнение эллипса

Выведем уравнение эллипса в простейшем случае, когда фокусы расположены в точках

в точках с координатами F₁ (-с; 0), F₂(с; 0).

Обозначим заданную сумму расстояний до этих точек через 2d. Заметим, что

d > c, иначе эллипс вырождается в пустое множество.

Обозначим (x,y) координаты произвольной точки эллипса M. Запишем аналитически

условие, определяющее эллипс. Расстояние d₁ от M до первого фокуса F₁ будет

d₁ =  (x – (-c)) ² + y ²

Расстояние d₂ от M до второго фокуса F₂ будет

d₂ =  (x – c) ² + y ²

Тем самым, по определению эллипса имеем d₁ + d₂ = 2d. Записывая это равенство подробно, имеем

 (x + с) ² + y ² +  (x – c) ² + y ² = 2d

Переносим второй корень в правую часть равенства со знаком минус и возводя обе части

в квадрат, находим

(x + с) ² + y ² = 4 d² + (x – c) ² + y ² - 4d (x – c) ² + y ²

Проводя простые алгебраические преобразования, получаем

d² - c x = d (x – c) ² + y ²

Снова возведем обе части равенства в квадрат. Получим, после некоторых преобразований, что

d⁴- d² c ² = (d²- c ² ) x ² + d² y ²

Разделим обе части на положительное число d⁴- d² c ²

Обозначим a =d и b= d²- c ² . После этого уравнение эллипса принимает вид

x ²  a ² + y ²  b ² =1. (4.1)

Эллипс, описываемый эти уравнением, это ограниченная кривая с центром в начале координат и симметричная относительно координатных осей. Параметр a называется большой полуосью эллипса, параметр b называется малой полуосью эллипса, параметр

с – полуфокусным расстоянием.

Эти параметры подчинены соотношению

a ² = b ² + с ²

В частном случае, когда полуоси совпадают (a=b) , эллипс превращается в окружность радиуса R = a=b с уравнением

x ² + y ² = R²

Уравнение гиперболы

В простейшем случае, когда фокусы расположены в точках

в точках с координатами F₁ (-с; 0), F₂(с; 0), гипербола имеет уравнение

x ²  a ² - y ²  b ² =1. (4.2)

Эта кривая состоит из двух ветвей, расположенных симметрично относительно оси ординат. Каждая из ветвей имеет две асимптоты, которые есть прямые, заданные уравнениями

y/b = x/a, y/b = - x/a.

Уравнение параболы

Если мы предположим, что директриса параболы параллельна оси ординат и задана уравнением x= - p/2, а фокус находится в точке F с координатами (p/2, 0),

то тогда уравнение параболы принимает вид

y ² = 2px (4.3)

Кривые второго порядка с центром не в начале координат и сдвиг системы координат.

Рассмотрим кривую, описываемую уравнением

x ² -2x + 2y ² =4 . (4.4)

Что мы можем сказать об этой кривой? Преобразуем уравнение, выделяя полный квадрат.

Мы получаем

x ² -2x + 1 + 2y ² =5

или

(x - 1) ² + 2y ² =5

Сделаем замену x^’ = x -1. Эта замена описывает сдвиг системы координат вдоль оси x,

когда начало переносится в точку (1; 0). Получаем

x ^{’ 2} + 2y ² =5

Это уравнение, в новых координатах, определяет эллипс с центром в начале, следовательно, в старых координатах кривая, определенная уравнением (4.4), то же была эллипсом, но с центром в (1;0).

Преобразование системы координат.

У читателя, который еще не забыл школьный материал, может возникнуть законный вопрос. В школе мы называли гиперболой кривую, определенную, например, уравнением

x y = 1. (4.5)

Какова связь между кривыми, определенными по (4.5) и по (4.2)?

Докажем, что школьная гипербола - это та же самая, что гипербола, введенная нами.

Для этого сделаем преобразование системы координат. Введем новые координаты

x ^’ , y ^’ , определенные по формулам

x ^’ = (x + y)/2 y ^’ = (x - y)/2

Cоответственно, обратное преобразование будет

x = (x^’ + y^’)/2 y = (x^’ - y^’)/2

Это преобразование координат описывает поворот P системы координат на 45 градусов.

Новые оси координат – это биссектрисы координатных углов.

Подставляя эти формулы в (4.5), получаем уравнение вида

x^{’ 2} - y^’2 = 4,

то есть уравнение гиперболы в форме (4.2)

Мы приходим к выводу, что «школьная» и «институтская» гиперболы связаны между собой преобразованием поворота на 45 градусов, что очевидно из рисунка.

Полярная система координат

В этой системе координат координаты точки - это два числа, полярный угол 

и число  , равное расстоянию от точки до начала координат О (см. рис.)

Формулы перехода от полярной системы к декартовой имеют вид

x =  sin , y =  cos ,

и обратно

= x² + y ² ,  =arctg x/y.

Полярная система выгодна тогда, когда описываемая фигура симметрична относительно поворота. Например, уравнение окружности приобретает в полярной системе совсем простой вид

=R.

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

Геометрическая интерпретация задач линейного программирования красива, полезна и помогает понять основной принцип алгоритма решения (почему эти задачи могут быть успешно решены).

Рассмотрим задачу из вводной лекции. Будем рассматривать значения (x_1, x₂) как координаты точки X на плоскости. Найдем сначала геометрический смысл ограничений. Ограничения, что x_1, x₂ - неотрицательны, означают, что X лежит в правом верхнем квадранте плоскости, который мы обозначим К.

Рассмотрим неравенство (0.1)

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂  b_1.

Чтобы понять, что значит это условие геометрически, сначала заменим неравенство равенством

a₁₁ x₁ + a₁₂ x_{2 =} b₁

Это есть уравнение прямой L₁. Поскольку коэффициенты a_11, a₁₂ предполагаются положительными, прямая пересекает квадрант К. Теперь нетрудно сообразить, что первое неравенство означает, что точка X лежит ниже прямой L_1, то есть в полуплоскости P₁ .

Аналогично, второе неравенство означает, что точка X лежит ниже прямой L₂

с уравнением a₂₁ x₁ + a₂₂ x_{2 =} b_2, то есть в полуплоскости P₂ .

Третье неравенство означает, что точка X лежит ниже прямой L₃

с уравнением a₃₁ x₁ + a₃₂ x_{2 =} b_{3 ,} то есть в полуплоскости P₃ .

Все ограничения вместе означают, что точка X лежит в пересечении М полуплоскостей

P₁, P₂ , P₃ и квадранта К (см. рис ).

Полученное множество точек М, состоящее из точек М ( x_{1 ;} x₂), координаты которых удовлетворяют всем неравенствам (всем ограничениям), является выпуклым многоугольником.

Это множество называют множеством решений данной системы неравенств, или

областью допустимых решений данной системы.

Многоугольник М состоит из вершин, граничных отрезков, соединяющих вершины, и

внутренних точек, лежащих «внутри» (не лежащих на граничных отрезках)

Выпуклость множества М играет фундаментальную роль

(напомним, что множество точек плоскости выпукло, если вместе с каждой парой своих точек оно содержит весь отрезок, соединяющий эти точки).

Крайне важное замечание. Множество (многоугольник) М может оказаться пустым.

Это означает, что решение задачи отсутствует, поскольку невозможно удовлетворить

всем ограничениям.

Выясним геометрический смысл целевой функции S. Фиксируем некоторое значение

S=r. Найдем все точки Х плоскости, для которых значение целевой функции S

равно r. Такие точки определены уравнением

c₁ x₁ + c₂ x_{2 =} r.

Это снова уравнение прямой. Обозначим эту прямую S_r.

Данная прямая зависит от параметра. В зависимости от этого параметра r_, прямая S_r. может пересекать или не пересекать множество М. Заметим, что все прямые S_r параллельны между собой. Это очень важно. Будем постепенно увеличивать значение r и наблюдать, как прямая будет пересекать множество М. При нулевом r пересечение S_r  М состоит из одной точки (0,0).

Затем, при малых положительных r _, пересечение S_r  М становится отрезком прямой. Чем больше r, тем выше проходит прямая S_r , значит, тем больше значение целевой функции.

С другой стороны, если число r слишком велико, пересечения S_r  М вообще нет. Тогда нет никаких решений, поскольку это означает, что ограничения не выполнены.

Значит, мы должны провести прямую S_r так, чтобы пересечение S_r  М было бы непустым, но при этом прямая S_r проходила бы как можно выше.

Нетрудно понять, что прямая S_r , соответствующая максимуму целевой функции, должна проходить через одну из вершин многоугольника М, не пересекая внутренних точек многоугольника. Такие прямые (прямые, пересекающие многоугольник в вершинах,

но не имеющие пересечений с внутренними точками), называются опорными прямыми..

Итак, решение задачи линейного программирования находится в одной из вершин

многоугольника М.

Этот вывод очень важен. Мы видим, что чтобы решить задачу линейного программирования, достаточно перебрать конечное число точек – вершин многоугольника и вычислить в них целевую функцию.

Контрольный вопрос. Оптимизируйте этим геометрическим методом бизнес Сергея Иванова.

Мы рассмотрели случай, когда целевая функция зависит от двух неизвестных.

Совершенно аналогично рассматривается случай трех неизвестных. В качестве области решений мы получаем выпуклый многогранник в трехмерном пространстве. Вместо опорных прямых, мы имеем опорные плоскости. Однако решение задачи снова соответствует некоторой вершине многогранника.

Заметим, что все вершины многоугольника М легко находятся. Они являются пересечениями сторон многоугольника. Например, решая систему линейных уравнений

a₂₁ x₁ + a₂₂ x_{2 =} b₂

a₃₁ x₁ + a₃₂ x_{2 =} b₃ .

мы можем найти вершину, соответствующую пересечению прямых L₂

и L₃.

Материал повышенной трудности

А что делать в общем случае, когда неизвестных много? Тогда помогает концепция абстрактного многомерного векторного пространства n измерений, изложенная выше. Вместо прямых и плоскостей мы имеем (n-1)- мерные гиперплоскости, разделяющие многомерное пространство. Вместо многоугольника имеем n – мерные выпуклые многогранники.

Можно доказать, что геометрическая картина, описанная выше, сохраняется.

Основная теорема теории линейного программирования

(сформулировано по А. И. Кострикину – Ю. И. Манину, с небольшими изменениями)

Предположим, что целевая функция S= c₁ x₁ + c₂ x₂ ... + c_n x_n , линейно зависящая от n неизвестных x_{1 ,} x_{2 , …} x_n , определена на некотором выпуклом ограниченном многограннике в многомерном векторном пространстве, состоящем из

строк вида (x_1, x_2, ... _, x_n) .

Тогда целевая функция принимает свое максимальное значение на одной из вершин многогранника.

Итак, даже в самом общем случае, чтобы решить любую задачу линейного программирования, достаточно перебрать конечное число точек – вершины многоугольника.

Методы теории линейного программирования позволяют осуществить этот перебор с помощью компьютера. Задача не так проста, поскольку вершин может быть много и перебирать их нужно с умом, а не просто подряд, как попало.

Конец материала повышенной трудности

Контрольные вопросы